Ниже — несколько удобных формул площади треугольника со сторонами $a,b,c$ и высотой $h$, опущенной на сторону $c$, и краткое обсуждение их применения в задачах оптимизации.
Формулы:
- классическая через основание и высоту: $$S=\frac{1}{2}ch;$$ - через две стороны и угол между ними ($\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$, противоположный $c$): $$S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma ;$$ - формула Герона (через полупериметр $p=\frac{a+b+c}{2}$): $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)};$$ - через радиус вписанной окружности $r$: $$S=pr;$$ - через радиус описанной окружности $R$: $$S=\frac{abc}{4R};$$ - выражение высоты через стороны (комбинация Герона и $S=\frac{1}{2}ch$): $$h=\frac{2S}{c}=\frac{2}{c}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$$
Применение в задачах на оптимизацию (ключевые идеи и типичные результаты):
- фиксированы $a$ и $b$, варьируется угол $\gamma$: используйте $S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$. Площадь максимальна при $\sin \gamma =1$, т.е. при $\gamma =90^{\circ }$ (максимум — прямой угол).
- фиксирован периметр $a+b+c=2p=$ const: используйте форму через $p$, записав $S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)$. Путём равенства при фиксированной сумме (или Лагранжевых множителей / AM–GM) получаем максимум при $a=b=c$ (треугольник равносторонний).
- фиксировано основание $c$ и фиксирован периметр: по симметрии и геометрическим соображениям (рефлексия) площадь максимальна, когда боковые стороны равны (т.е. треугольник равнобедренный с основанием $c$). Можно формализовать через $h$: при фиксированном периметре максимален $h$.
- фиксированы $a,b$ и сумма углов или иные ограничения, связанные с $R$ или $r$: используйте $S=\frac{abc}{4R}$ (при фиксированном $R$ максимизируется произведение $abc$, что снова даёт симметрию — обычно равные стороны) или $S=pr$ (при фиксированном $p$ максимизируется $r$, что достигается при равностороннем треугольнике).
- если дано $c$ и высота $h$: площадь уже фиксирована $S=\frac{1}{2}ch$ — задачи сводятся к дополнительным ограничениям (например, минимизация периметра при данной площади и т.п.), тогда полезны формулы Герона и выражения $h$ через $a,b,c$ для перевода ограничений в аналитическую форму.
Короткие способы доказать оптимальные конфигурации: использовать аналитическое выражение $S$ с переменными, метод Лагранжа для ограничений суммы/периметра, или неравенства (AM–GM) для симметрии факторов в формуле Герона.
(Вывод: выбирать формулу по типу ограничений: если задано основание/высота — $S=\frac{1}{2}ch$; если заданы две стороны — $S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$; при ограничениях на периметр/произведения удобно применять Герона, $S=pr$ или $S=\frac{abc}{4R}$.)