Ошибка: неверно тождество. Правильное раскрытие квадрата — это
$$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2,$$ а разность квадратов — это
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$
Типичная «ошибка‑доказательство» выглядит так:
$$(a-b{)}^2=(a-b)(a-b)=a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ далее «сокращают» множитель $a-b$ и получают $a-b=a+b$, откуда $-b=b$ и т.д. Нельзя так делать без проверки: правило деления (сокращения) множителя требует, чтобы этот множитель был ненулевым.
Формально: из равенства $(a-b)(a-b)=(a-b)(a+b)$ следует либо $a-b=0$, либо (если $a-b\ne 0$) можно делить на $a-b$ и получить $a-b=a+b$. Следовательно все решения удовлетворяют
$$2b(b-a)=0⟹b=0\text{или}a=b.$$ То есть исходное равенство верно лишь при $b=0$ или $a=b$, но не для любых $a,b$. Например, для $a=3,b=1$ левая часть $(3-1{)}^2=4$, правая $3^2-1^2=8$ — не равны.
Как объяснить ученикам: показать корректное разложение, привести контрпример и подчеркнуть правило: из $xy=xz$ можно заключать $y=z$ только если $x\ne 0$; если $x=0$, равенство верно при любых $y,z$.