Ответ: ${\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{x}dx=\frac{{\pi }^2}{12}\approx 0.822466$.
Два способа решения.
1) Рядовое разложение (термпо-терму интегрирование). Для $|x|<1$ $$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}.$$ Делим на $x$ и интегрируем по $x\in (0,1)$ терм-по-терму (абелево продление/условия сходимости позволяют это сделать):
$${\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n}{\int }_0^1{x}^{n-1}dx=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n^2}.$$ Известная сумма даёт
$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{12}.$$
2) Через дилиогарифм (специальную функцию). По определению
$${\mathrm{Li}}_2(z)=-{\int }_0^z\frac{\ln (1-t)}{t}dt.$$ При $z=-1$, подстановка $t=-u$ даёт
$${\mathrm{Li}}_2(-1)=-{\int }_0^{-1}\frac{\ln (1-t)}{t}dt=-{\int }_0^1\frac{\ln (1+u)}{u}du=-I,$$ где $I$ — наш интеграл. Из известного значения ${\mathrm{Li}}_2(-1)=-{\pi }^2/12$ следует $I={\pi }^2/12$.
Сравнение методов (устойчивость и применение).
- Рядовой метод: даёт явную быстро сходящуюся (порядок $1/n^2$) альтернативную сумму; для численной оценки очень устойчив (чёткая оценка погрешности по следующему члену ряда). Требует знания разложения в степенной ряд и контроля сходимости на границе $x=1$ (абелево продление).
- Метод через ${\mathrm{Li}}_2$: кратко даёт точный результат, удобен в символических вычислениях и при наличии таблицы/библиотеки для значений специальных функций. Для численной реализации полагается на реализацию ${\mathrm{Li}}_2$ в библиотеке (обычно стабильно).
- Прямая численная интеграция (например, квадратуры) также стабильна, так как $\ln (1+x)/x$ гладкая на $[0,1]$ (предел при $x\to 0$ равен $1$); применение стандартных схем даёт быстрое приближение, но не даёт аналитической формулы.