Вычислите предел lim_{x->0} (sin(3x) - 3x) / x^3 и объясните выбор метода (разложение в ряд, правило Лопиталя, тождественные преобразования)
Вычислите предел lim_{x->0} (sin(3x) - 3x) / x^3 и объясните выбор метода (разложение в ряд, правило Лопиталя, тождественные преобразования)
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Разложение:
sint=t−t36+o(t3)(t→0). \sin t = t - \frac{t^3}{6} + o(t^3)\quad (t\to0).
sint=t−6t3 +o(t3)(t→0). Положив t=3xt=3xt=3x, получаем
sin(3x)=3x−(3x)36+o(x3)=3x−27x36+o(x3)=3x−92x3+o(x3). \sin(3x)=3x-\frac{(3x)^3}{6}+o(x^3)=3x-\frac{27x^3}{6}+o(x^3)=3x-\frac{9}{2}x^3+o(x^3).
sin(3x)=3x−6(3x)3 +o(x3)=3x−627x3 +o(x3)=3x−29 x3+o(x3). Тогда
sin(3x)−3xx3=−92x3+o(x3)x3=−92+o(1)→−92. \frac{\sin(3x)-3x}{x^3}=\frac{-\tfrac{9}{2}x^3+o(x^3)}{x^3}=-\frac{9}{2}+o(1)\to -\frac{9}{2}.
x3sin(3x)−3x =x3−29 x3+o(x3) =−29 +o(1)→−29 .
Альтернативно можно трижды применить правило Лопиталя:
f(x)=sin(3x)−3x, g(x)=x3; f(x)=\sin(3x)-3x,\ g(x)=x^3;
f(x)=sin(3x)−3x, g(x)=x3; f′(x)=3cos(3x)−3, g′(x)=3x2;f′′(x)=−9sin(3x), g′′(x)=6x;f′′′(x)=−27cos(3x), g′′′(x)=6, f'(x)=3\cos(3x)-3,\ g'(x)=3x^2;
\quad f''(x)=-9\sin(3x),\ g''(x)=6x;
\quad f'''(x)=-27\cos(3x),\ g'''(x)=6,
f′(x)=3cos(3x)−3, g′(x)=3x2;f′′(x)=−9sin(3x), g′′(x)=6x;f′′′(x)=−27cos(3x), g′′′(x)=6, откуда
limx→0f(x)g(x)=f′′′(0)g′′′(0)=−276=−92. \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'''(0)}{g'''(0)}=\frac{-27}{6}=-\frac{9}{2}.
x→0lim g(x)f(x) =g′′′(0)f′′′(0) =6−27 =−29 .
Ответ: −92\displaystyle -\frac{9}{2}−29 .