Кратко — возможные евклидовы построения (стрелка+циркуль) и один аналитический метод с обсуждением преимуществ.
Условие и обозначения: окружность с центром $O$ и радиусом $r$, внешняя точка $P$. Обозначим расстояние $d=|OP|$. Реально существует два касательных при $d>r$ (одна при $d=r$, нет при $d<r$).
Евклидовы конструкции:
1) Метод с окружностью по диаметру $OP$ (самый распространённый, основан на теореме Фалеса)
- Построение: соединить $O$ и $P$. Построить окружность с диаметром $OP$ (центр — середина $OP$). Эта окружность пересекает заданную окружность в точках касания $T_1,T_2$. Провести прямые $P{T}_1,P{T}_2$.
- Почему работает: если $T$ — точка касания, то $\angle OTP=90^{\circ }$, значит $T$ лежит на окружности с диаметром $OP$.
- Преимущества: простота, мало шагов, надёжность при построении; не требует вычислений и легко выполняется на бумаге.
2) Метод через построение длины касательной $PT=\sqrt{d^2-r^2}$ (через прямоугольный треугольник)
- Построение (схематично): построить на прямой $OP$ отрезок длины $d$; в точке $O$ возвести перпендикуляр и отложить на нём отрезок длины $r$; соединить концы и описать прямоугольный треугольник, по теореме Пифагора получить длину $PT=\sqrt{d^2-r^2}$ геометрически (стандартная процедура построения квадратного корня циркулем и линейкой). Затем на исходной прямой через $P$ отложить отрезок этой длины и построить соответствующий прямоугольный треугольник, откуда восстановить точки касания; эквивалентно: построить точку $T$ на окружности такую, что $OT\perp PT$.
- Преимущества: даёт явную длину касательной $PT$, полезно если нужны числовые величины; также можно использовать, если требуется построить касательную заданной длины или включить результат в дальнейшие вычисления.
3) Метод через инверсию / гомотетию (геометрическая трансформация)
- Построение: выполнять инверсию с центром в $P$ (радиус любой) — под инверсией окружность, не проходящая через $P$, превращается в другую окружность; точки касания переходят в точки пересечения полученной окружности с образом исходной; обратная инверсия даёт точки касания. Практически инверсию можно реализовать через стандартные циркулем/линейкой постройки центров и пересечений.
- Преимущества: концептуально мощный метод, удобно в композиции с другими трансформациями; делает видимыми марки симметрий и отношений (полярные, радикальные оси). Минус — чуть более громоздок в ручном построении, требует навыка.
Аналитический подход (координатный, компактная формула для точек касания)
- Поставим $v=P-O$, $d=|v|$, единичный вектор $u=v/d$. Положим орт влево/вправо $u_{\perp }$ (поворот $u$ на $90^{\circ }$). Тогда векторы от $O$ до точек касания $T$ равны
$$w=\frac{r^2}{d}u\pm \frac{r\sqrt{d^2-r^2}}{d}{u}_{\perp },$$ и координаты точек касания
$$T=O+w.$$ Проверка: $|w|=r$ и $w\cdot v=r^2$ (условие перпендикулярности радиуса и касательной).
- Преимущества: даёт явные численные координаты; удобен для программной реализации, CAD, численных расчётов и анализа вырожденных случаев; легко модифицируется (например, учесть погрешности). Минусы: требует вычислений (квадратного корня), не делается «на глаз» без приборов.
Краткое сравнение преимуществ/ограничений
- Метод Фалеса: максимально прост и устойчив на бумаге; предпочтителен при чистом геометрическом построении.
- Построение через вычисление $PT$: полезно при требовании числовых размеров или когда нужно знать длину касательной; чуть более длинно по шагам.
- Инверсия/гомотетия: концептуально универсальна, удобна в теоретических задачах и при работе со сложными конфигурациями; в ручном построении громоздка.
- Аналитический метод: лучший выбор для программной/численной работы, точных координат и автоматизации; не всегда удобен при ручном черчении.
Замечание о вырожденных случаях: при $d=r$ получается одно касание (касательная единственна), при $d<r$ — реальных касательных нет.