Формула: длина медианы к стороне $a$ $$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}.$$
Доказательство 1 (геометрическое, отражением + параллелограммный закон).
- Пусть в треугольнике $ABC$ медиана $AM$ к стороне $BC$ (точка $M$ — середина $BC$). Отразим $A$ через $M$ в точку $A^{\prime }$. Тогда $M$ — середина отрезка $A{A}^{\prime }$, значит $AM=\frac{1}{2}A{A}^{\prime }$.
- Векторно видно, что $A{A}^{\prime }=AB+AC$ (при центрировании $M$ в начало). Значит по параллелограммному закону (или через скалярное произведение)
$$A{A}^{\prime 2}=A{B}^2+A{C}^2+2AB\cdot AC=b^2+c^2+2bc\cos \angle A.$$ - По закону косинусов $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \angle A$, откуда $2bc\cos \angle A=b^2+c^2-a^2$. Подставляя,
$$A{A}^{\prime 2}=2b^2+2c^2-a^2.$$ - Следовательно
$$m_a=AM=\frac{1}{2}A{A}^{\prime }=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}.$$
Доказательство 2 (алгебраическое, теорема Стюарта).
- Пусть медиана $AM$ делит $BC$ на отрезки длины $\frac{a}{2}$ и $\frac{a}{2}$. По теореме Стюарта для шевиана длины $m_a$:
$$b^2\cdot \frac{a}{2}+c^2\cdot \frac{a}{2}=a(m_a^2+\frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2}).$$ - Упростим, разделив на $a$:
$$\frac{b^2+c^2}{2}=m_a^2+\frac{a^2}{4},$$ откуда
$$m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4},m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}.$$
Сравнение наглядности.
- Геометрическое доказательство более зрительно: отражение и параллелограммный закон дают интуитивное представление, почему появляются слагаемые $2b^2$ и $2c^2$ и вычитается $a^2$. Оно компактно и легко запоминается.
- Алгебраическое (Стюарт) формально короче и универсальнее для произвольных чеваинов; оно прямолинейно вычислительно и может восприниматься как менее «образное», но более механическое и строгие для вычислений.
Вывод: обе версии эквивалентны по строгости; выбор зависит от предпочтения — наглядность и интуиция (геометрическое) или алгоритмичность и общность (алгебраическое).