Функция $f(x)=x^x$ для $x>0$.
1) Дифференцирование (несколько способов).
- Логарифмическое дифференцирование: $\ln f(x)=x\ln x$. Дифференцируя, $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\ln x+1$, откуда
$$f^{\prime }(x)=x^x(\ln x+1).$$ - Эквивалентно: $f(x)=\exp (x\ln x)$, применить правило цепочки.
- Для второй производной можно дифференцировать $f^{\prime }(x)=x^x(\ln x+1)$ или воспользоваться
$$(\frac{f^{\prime }}{f}{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime \prime }}{f}-(\frac{f^{\prime }}{f}{)}^2=(\ln x+1{)}^{\prime }=\frac{1}{x},$$ откуда
$$f^{\prime \prime }(x)=f(x)[(\ln x+1{)}^2+\frac{1}{x}]=x^x[(\ln x+1{)}^2+\frac{1}{x}].$$
2) Монотонность.
- $f^{\prime }(x)=x^x(\ln x+1)$. Поскольку $x^x>0$, знак $f^{\prime }$ определяется знаком $\ln x+1$.
- $\ln x+1=0$ при $x={\mathrm{e}}^{-1}=\frac{1}{e}$.
- Следовательно $f^{\prime }(x)<0$ на $(0,\frac{1}{e})$ и $f^{\prime }(x)>0$ на $(\frac{1}{e},\infty )$.
- Итог: $f$ убывает на $(0,\frac{1}{e})$ и возрастает на $(\frac{1}{e},\infty )$.
3) Выпуклость.
- Так как $f^{\prime \prime }(x)=x^x[(\ln x+1{)}^2+\frac{1}{x}]$ и для $x>0$ каждое слагаемое положительно, то $f^{\prime \prime }(x)>0$ при всех $x>0$.
- Следовательно $f$ строго выпукла на $(0,\infty )$.
Альтернативно: $g(x)=x\ln x$ имеет $g^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{x}>0$, значит $g$ выпукла, и $f=\exp \circ g$ — выпуклая (экспонента монотонно-увеличивающая и выпуклая).
4) Минимум.
- По монотонности и выпуклости единственная критическая точка $x=\frac{1}{e}$ — глобальный (и строгий) минимум.
- Значение минимума:
$$f\left(\frac{1}{e}\right)=(\frac{1}{e}{)}^{1/e}=e^{-1/e}\approx \mathrm{0.6922.}$$
Краткие замечания о предельном поведении: ${\lim }_{x\to 0+}{x}^x=1$, $f(1)=1$, ${\lim }_{x\to \infty }{x}^x=+\infty$.