Краткий вывод
- Утверждение в постановке (есть одна комплексно‑сопряжённая пара и две действительные корня, причём один из них кратный) в интерпретации «пара корней простая (по одному)» невозможно для многочлена степени 4 с действительными коэффициентами. Причина — суммарная кратность корней равна 4, а кратности сопряжённых комплексных корней равны.
Доказательство кратко (мультипликативный подсчёт кратностей)
- Обозначим кратность комплексного корня $a+bi$ как $m$; тогда у $a-bi$ та же кратность $m$. Обозначим кратности двух вещественных корней $k$ и $l$. Тогда
$$2m+k+l=4,m,k,l\in {\mathbb{Z}}_{\ge 1}.$$ - Если имеется ровно одна комплексная пара (т.е. пара различных корней), то $m=1$ и $k+l=2$. Единственный целочисленный набор с $k,l\ge 1$ — $k=l=1$, т.е. оба вещественных корня простые. Следовательно случай «одна комплексная пара + два вещественных корня, один кратный» при $m=1$ невыполним.
- Другие варианты: $m\ge 2$ даёт $2m\ge 4$ и нет места для вещественных корней; значит нельзя иметь и кратную комплексную пару и при этом ещё два вещественных корня.
Разрешённые структуры для четвертой степени (коротко)
- Четырёхчленные варианты с действительными коэффициентами (в терминах кратностей и типов корней):
1. Две вещественные простые + одна комплексная простая пара: кратности $(1,1,1,1)$.
2. Одна вещественная двойная + две вещественные простые — невозможно при наличии комплексной пары.
3. Две комплексные пары (две сопряжённые пары): нет вещественных корней.
4. Двойная комплексная пара (каждый комплексный корень кратности 2) — нет вещественных корней.
5. Вещественная кратность 3 или 4 — соответственно тройной + простой, либо четвёрной — без комплексных пар.
Методы нахождения корней и проверки кратностей (практически)
1. Проверка кратных корней (алгебраически)
- Вычислить $p^{\prime }(x)$ и найти $\gcd (p,p^{\prime })$. Наличие нетривиального НОД даёт фактор(ы) кратности $\ge 2$. Если $\gcd$ линейный $(x-r)$, то $r$ — кратный корень, потому что
$$p(r)=0,p^{\prime }(r)=0.$$ 2. Факторизация в квадратичные множители с действительными коэффициентами
- Записать
$$p(x)=(x^2+ux+v)(x^2+sx+t)$$ и приравнять коэффициенты; решить систему для $u,v,s,t$. Один из квадратов может иметь отрицательный дискриминант и тогда даёт комплексную сопряжённую пару: для квадратика характерен дискриминант $\Delta =u^2-4v$.
3. Если известна комплексная пара $a\pm bi$, то соответствующий фактор — вещественный квадратик
$$x^2-2ax+(a^2+b^2).$$ Можно попытаться выделить такой квадратный множитель делением многочленов.
4. Нахождение вещественных рациональных корней
- Применить теорему о рациональных корнях (если коэффициенты целые) и пробное деление многочлена. После выделения вещественного корня можно делить и уменьшать степень.
5. Общие аналитические формулы
- Формула Феррари даёт явные выражения для корней четвёртой степени, но громоздка; полезна при теоретическом исследовании.
6. Численные методы и интервализация
- Для практического нахождения корней и их локализации: метод Ньютона (с осторожностью при кратных корнях), методы на основе QR, использование Sturm‑последовательности или метода разделяй и властвуй для поиска количества вещественных корней на интервалах.
7. Чувствительность и диагностика
- Кратные корни плохо обусловлены численно: лучше сначала вычислить $\gcd (p,p^{\prime })$ символически или с высокой точностью, затем извлечь кратный множитель и решить оставшийся многочлен.
Короткая инструкция-алгоритм для практики
1. Посчитать $p^{\prime }(x)$ и $\gcd (p,p^{\prime })$. Если НОД нетривиален → выделить кратный множитель.
2. Попытаться разложить оставшийся многочлен на два квадратика $(x^2+ux+v)(x^2+sx+t)$ или найти рациональные корни и разделить.
3. Для квадратиков вычислить дискриминанты $\Delta$ — отрицательный даёт комплексную пару, положительный — две вещественные.
4. При невозможности аналитической факторизации — применять численные алгоритмы (QR, Newton, eigenvalues companion matrix).
Итого: заявленная в формулировке комбинация «одна простая комплексная пара + две вещественные, одна из которых кратная» невозможна. Для исследования и нахождения корней используйте ГНД с производной, факторизацию в квадраты с действительными коэффициентами, теорему о рациональных корнях и/или численные методы; при наличии кратных корней сначала извлекайте общий множитель $\gcd (p,p^{\prime })$.