Невозможно.
Причина (кратко). Множество точек непрерывности произвольной вещественной функции является G${}_{\delta }$-множеством (пересечение счётного числа открытых множеств). Доказательство: вводим осцилляцию функции в точке
$${\omega }_f(x)=\underset{\delta \to 0}{\lim }\sup \{|f(y)-f(z)|:|y-x|<\delta ,|z-x|<\delta \}.$$ Тогда $f$ непрерывна в $x$ тогда и только тогда, когда ${\omega }_f(x)=0$. Для каждого $n\in \mathbb{N}$ множество
$$G_n=\{x:{\omega }_f(x)<1/n\}$$ открыто, и множество точек непрерывности равно ${\bigcap }_{n=1}^{\infty }{G}_n$, т.е. G${}_{\delta }$.
Однако множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ не является G${}_{\delta }$ в $\mathbb{R}$ (это следует, например, из теоремы о категориях Бэра: непустое G${}_{\delta }$ в полном метрическом пространстве содержит непустое открытое множество или даже несчётное совершенное подмножество, поэтому не может быть счётным). Следовательно не существует функции, непрерывной ровно во всех рациональных точках и нигде на иррационалах.