Пусть сторона квадрата равна $s$. Разрезы дают три вертикальные ширины $a,b,c$ и три горизонтальные высоты $p,q,r$ с $a+b+c=s$ и $p+q+r=s$. Периметр каждого малого прямоугольника $2(\text{ширина}+\text{высота})$, поэтому сумма периметров всех девяти прямоугольников
$$\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^{3}2(a_i+p_j)=2(3(a+b+c)+3(p+q+r))=12s.$$ По условию $12s=84$, откуда $s=7$. Площадь исходного квадрата равна $s^2=49{\text{см}}^2$.