Коротко и по делу.
1) Разложение в степенной ряд и точное представление
- Положим $x^x=e^{x\ln x}={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{(x\ln x{)}^k}{k!}$. Интегрируя почленно на $[0,1]$ и пользуясь формулой
$${\int }_0^1{x}^a(\ln x{)}^{n}dx=(-1{)}^n\frac{n!}{(a+1{)}^{n+1}}(a>-1,n\in {\mathbb{N}}_0),$$ получаем
$${\int }_0^1{x}^{x}dx=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{\int }_0^1{x}^k(\ln x{)}^{k}dx=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{(k+1{)}^{k+1}}.$$ Переиндексируя,
$${\int }_0^1{x}^{x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{n}^{-n}.$$
2) Сходимость и оценка погрешности
- Члены $n^{-n}$ убывают сверхэкспоненциально, потому ряд абсолютно сходится.
- Так как ряд чередующийся и модуль членов монотонно убывает к нулю (начиная с некоторого $n$), остаток после $N$ членов удовлетворяет оценке ряда Лейбница:
$$\left|{\text{ошибка}}_N\right|\le (N+1{)}^{-(N+1)}.$$ Это даёт чрезвычайно быстрый расход погрешности: уже при $N=6$ ошибка $\lesssim 7^{-7}\sim 10^{-6}$, при $N=10$ $\lesssim 11^{-11}\sim 10^{-11}$.
3) Численное значение
- Суммирование ряда даёт
$${\int }_0^1{x}^{x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{n}^{-n}\approx 0.7834305079(\text{примерно}).$$ Практически это самый удобный и быстрый способ получить высокую точность.
4) Альтернативные численные методы
- Обычные квадратурные формулы (Симпсон, квадратуры Гаусса) работают тоже, но ряд даёт гораздо более быструю сходимость.
- Можно также применять преобразования (например, $x=e^{-t}$ даёт представление ${\int }_0^{\infty }{e}^{-t(1+e^{-t})}dt$), полезные для специальных численных приёмов или асимптотики.
5) Существование элементарной первообразной
- Первообразная для $x^x$ не выражается через элементарные функции. Это следствие общих результатов (Risch‑алгоритм / теоремы Лиувилля) о невозможности интегрирования функций вида $e^{x\ln x}$ в элементарных терминах. На практике индикатором является то, что интеграл даёт естественное выражение только в виде бесконечного ряда или специальных функций (неполн. гамма/экспоненциальные интегралы при разложении почленно), но не в терминах конечного набора элементарных операций.
Если нужно, могу дать подробную пошаговую сумму первых N членов и оценку остатка для конкретного N.