Коротко: по формуле суммы в произведение
$$\sin (3x)+\sin (5x)=2\sin \left(\frac{3x+5x}{2}\right)\cos \left(\frac{3x-5x}{2}\right)=2\sin (4x)\cos (x).$$
Возможные преобразования и их применение:
- Формула сумма→произведение (как выше): $\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$.
- Удобно при решении уравнений: $\sin (3x)+\sin (5x)=0\Rightarrow 2\sin (4x)\cos x=0\Rightarrow x=\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$ (все корни задаются $x=k\pi /4$).
- Удобно для анализа «биений»/модуляции: представление как медленный огибающий $\cos x$ и быстрая колебательная $\sin 4x$.
- Обратное (разложение произведения в сумму): если встретите $2\sin (4x)\cos x$, то можно вернуть в $\sin (5x)+\sin (3x)$. Это полезно при приведении к сумме гармоник (спектральный анализ).
- Комплексная форма (для алгебраических преобразований, Фурье, ОДУ):
$$\sin (3x)+\sin (5x)=\Im (e^{i3x}+e^{i5x})=\Im (e^{i4x}(e^{-ix}+e^{ix}))=2\sin (4x)\cos x.$$
- Другие алгебраические тождества (двойные углы и т.п.) дают дополнительные формы, например через $\sin 2x,\cos 2x$, но это обычно менее компактно.
Примеры применения:
- Интегрирование: проще интегрировать как сумму гармоник:
$\int (\sin (3x)+\sin (5x))dx=-\frac{\cos (3x)}{3}-\frac{\cos (5x)}{5}+C$.
- Решение уравнений и нахождение нулей: удобнее в виде произведения $2\sin (4x)\cos x$.
- Сигналы/физика: представление в виде произведения удобно для интуитивного понимания огибающей и несущей.