Коротко: подход корректен при условии, что разложение по Тейлору записано верно и учтён остаточный член, который при делении на $x$ стремится к нулю.
Пояснения и детали:
- Правильное разложение синуса в окрестности нуля:
$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$ при $x\to 0$.
Отсюда
$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{6}+o(x^2)\to 1.$ - Условия применения рядов: функция должна быть достаточно гладкой (для конечного числа членов — иметь соответствующие производные; для полного степенного ряда — аналитична). Для строгого обоснования нужно контролировать остаточный член, например в форме Лагранжа
$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{x}^{n+1}$ для некоторого $\xi$ между $0$ и $x$. Для $\sin x$ остаток малейшего порядка, поэтому при делении на $x$ он даёт ноль.
- Замечание о «втором порядке»: у $\sin x$ отсутствует член $x^2$, поэтому правильнее писать до третьего неравноценного члена (с учётом $x^3$). На практике для предела достаточно первого порядка: $\sin x=x+o(x)$, что прямо даёт $\sin x/x\to 1$.
Альтернативные методы (коротко):
- Правило Лопиталя: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{1}=1.$ - Теорема о производной: предел равен ${\sin }^{\prime }(0)=\cos 0=1.$ - Метод «сжатия» (геометрический): для $0<|x|<\pi /2$ справедливо $\cos x\le \frac{\sin x}{x}\le 1$, отсюда предел $1$.
Итого: замена на ряд Тейлора — допустимый и часто удобный способ, если разложение записано правильно и остаток контролируется.