Критерий: функция $f(x)=x^x$ на положительном полуинтервале $I\subset (0,\infty )$ возрастает тогда и только тогда, когда $\ln x+1>0$ для всех $x\in I$, т.е. когда $I\subset (1/e,\infty )$.
Доказательство и исследование через логарифмическое дифференцирование:
1) Возьмём логарифм:
$$\ln f(x)=\ln (x^x)=x\ln x,x>0.$$
2) Дифференцируем:
$$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{d}{dx}(x\ln x)=\ln x+1.$$ Отсюда
$$f^{\prime }(x)=x^x(\ln x+1).$$
3) Знак производной: так как $x^x>0$ при $x>0$, знак $f^{\prime }(x)$ определяется знаком $\ln x+1$. Следовательно
- $f^{\prime }(x)>0$ при $\ln x+1>0⟺x>1/e$ (возрастание),
- $f^{\prime }(x)=0$ при $x=1/e$,
- $f^{\prime }(x)<0$ при $0<x<1/e$ (убывание).
4) Вторая производная (для характера экстремума):
$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{d}{dx}(x^x(\ln x+1))=x^x((\ln x+1{)}^2+\frac{1}{x}).$$ В частности в точке $x=1/e$ имеем $\ln x=-1$, поэтому первое слагаемое равно нулю, и
$$f^{\prime \prime }(1/e)=(1/e{)}^{1/e}\cdot e>0,$$ то есть в $x=1/e$ — строгий локальный (и в данном случае глобальный на $(0,\infty )$) минимум.
Замечание о пределе: ${\lim }_{x\to 0+}{x}^x=1$, минимум достигается в $x=1/e$ со значением $(1/e{)}^{1/e}$, далее функция возрастает на $(1/e,\infty )$.