Логический пробел: утверждение сформулировано так, будто существует последовательность, ограниченная и не имеющая предельной (кумулятивной) точки, и из этого делают вывод о её расходимости. Но в действительности в $\mathbb{R}$ такое сочетание свойств невозможно: либо доказательство не использует теорему Больцано—Вейерштрасса, либо путаница в определениях (предельная точка последовательности = предел некоторой бесконечной подпоследовательности).
Исправление и краткое доказательство. Пусть $(x_n)$ — ограниченная последовательность вещественных чисел. Рассмотрим множество значений $S=\{x_n:n\in \mathbb{N}\}$.
- Если $S$ бесконечно, то по теореме Больцано—Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность $(x_{n_k})$, значит есть предельная точка.
- Если $S$ конечно, то по принципу Дирихле какое-то значение встречается бесконечно часто, значит соответствующая постоянная подпоследовательность даёт предельную точку.
Во всех случаях существует предельная точка. Следовательно исходное условие «ограничена и не имеет предельной точки» приводит к противоречию — такой последовательности не существует.
Правильные формулировки:
- Корректная положительная версия: «Любая ограниченная последовательность в $\mathbb{R}$ имеет хотя бы одну предельную точку (существует сходящаяся подпоследовательность).»
- Правильная отрицательная версия (исправление исходного): «Если последовательность вещественных чисел ограничена и не имеет предельной точки, то такой последовательности не существует (утверждение ложное в смысле существования примера).»