Коротко о разных понятиях.
Определения:
- Попарная независимость для трёх событий $A,B,C$ значит, что любые два независимы:
$$P(A\cap B)=P(A)P(B),P(A\cap C)=P(A)P(C),P(B\cap C)=P(B)P(C).$$ - Независимость в совокупности (взаимная, полностью) требует выполняться это условие для любых непустых подмножеств, в частности для тройки:
$$P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)$$ и для всех пар (как выше).
Пример, где попарная независимость не влечёт общую. Берём два честных подбрасывания монеты; пространство исходов $S=\{HH,HT,TH,TT\}$ с вероятностью $1/4$ на каждом исходе. Пусть
$$A=\{\text{первая монета — Орел}\}=\{HH,HT\},$$ $$B=\{\text{вторая монета — Орел}\}=\{HH,TH\},$$ $$C=\{\text{монеты одинаковы}\}=\{HH,TT\}.$$ Тогда
$$P(A)=P(B)=P(C)=1/2.$$ Парные пересечения:
$$P(A\cap B)=P(\{HH\})=1/4=P(A)P(B),$$ $$P(A\cap C)=P(\{HH\})=1/4=P(A)P(C),$$ $$P(B\cap C)=P(\{HH\})=1/4=P(B)P(C),$$ то есть события попарно независимы. Но для тройки
$$P(A\cap B\cap C)=P(\{HH\})=1/4\ne 1/8=P(A)P(B)P(C).$$ Следовательно, попарная независимость не влечёт независимость в совокупности.