Кратко — два подхода, их плюсы/минусы и где нужно осторожничать.
1) Разложение в ряд
- Идея: $\ln (1+x)={\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}$ при $|x|<1$. Делим на $x$ и интегрируем почленно:
$$\frac{\ln (1+x)}{x}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^{n-1}}{n},{\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{12}.$$ - Преимущества: даёт точный аналитический результат и быстро сходящуюся по $n$ сумму $\sum (-1{)}^{n-1}/n^2$ (абсолютно сходящуюся).
- Ограничения и осторожность: начальное степенное разложение действительно только при $|x|<1$; в точке $x=1$ серия для $\ln (1+x)$ сходится только условно, и прямая смена суммы и интеграла требует обоснования (из-за отсутствия равномерной сходимости на всём $[0,1]$). Правильное обоснование делается через взятие предела с $[0,1-\epsilon ]$ и применение теорем Абеля/доминированной сходимости/перехода к пределу, т.е. осторожность именно при обмене суммы и интеграла и при рассмотрении конца интервала $x\to 1$.
2) Численное интегрирование (интуиция/квадратуры)
- Подходы: адаптивный Симпсон, Кронрод–Пatterson, Гауссова квадратура и т.п.; при вычислении в плавающей точке использовать $log1p(x)$ для малых $x$ (чтобы корректно считать $\ln (1+x)$).
- Преимущества: простая реализация, автоматический контроль погрешности у адаптивных методов, работает для общих функций без аналитических преобразований.
- Ограничения и осторожность: хотя интегранд здесь регулярен на $[0,1]$ ($\ln (1+x)/x\to 1$ при $x\to 0$), нужно следить за численной устойчивостью при очень малых $x$ (использовать $log1p$) и за оценкой погрешности метода (шаг/оценка остатка). Если пытаться использовать степенной ряд для вычисления значений вблизи $x=1$, его точность может быть плохой (медленно сходится точечно при $x\approx 1$ до обмена интегралом).
Резюме: для получения аналитического значения — удобно и безопасно разложение с последующим суммированием полученной абсолютно сходящейся серии $\sum (-1{)}^{n-1}/n^2$. Главная точка, где требуется осторожность сходимости — обмен суммы и интеграла и поведение разложения в точке $x=1$. Для численных целей — применяйте адаптивную квадратуру с $log1p$ или просто суммируйте полученную серию коэффициентов (быстро сходящуюся) для точного числа.