Утверждение почти корректно, нужно уточнить формулировку и указать краевые случаи.
Правильная формулировка:
- Для степенного ряда ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(x-c{)}^n$ с радиусом сходимости $R$ выполняется:
- ряд сходится абсолютно при любых $x$ с $|x-c|<R$;
- ряд расходится при любых $x$ с $|x-c|>R$.
- Радиус $R$ можно вычислить, например, по формуле Коши–Адамара:
$$R=\frac{1}{{\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}},$$ с соглашениями $1/0=+\infty$, $1/+\infty =0$.
Краевые (неоднозначные) случаи:
- Точки на границе круга сходимости, т.е. $|x-c|=R$, — поведение неоднозначно: в разных точках границы ряд может
- сходиться абсолютно (например $\sum \frac{x^n}{n^2}$ при $R=1$ и $x=\pm 1$),
- сходиться условно (например $\sum \frac{x^n}{n}$ при $R=1$ сходится при $x=-1$ условно, а при $x=1$ расходится),
- расходиться (например геометрическая $\sum x^n$ при $R=1$ расходится при $x=\pm 1$).
- Особые значения $R$: $R=0$ — ряд может сходиться только в $x=c$; $R=+\infty$ — ряд сходится при всех $x$.
Как анализировать точки с $|x-c|=R$:
1. Проверьте абсолютную сходимость: исследуйте $\sum |a_n|R^n$. Если сходится, то и в точке $|x-c|=R$ будет абсолютная сходимость.
2. Если $\sum |a_n|R^n$ расходится, применяйте классические признаки к ряду $\sum a_n(c\pm R{)}^n$: признак Лейбница (чередование), сравнение, признак Дирихле/Абеля, преобразование сумм (Abel-сложение) и т.п.
3. В комплексном случае поведение на окружности радиуса $R$ может быть очень разным по разным точкам; нет общего правила — нужно проверять каждую точку отдельно.
4. При специальных условиях на коэффициенты есть дополнительные теоремы: например, если $a_n\ge 0$, то при $x=c+R$ сумма либо равна $\sum a_n{R}^n$ (возможно бесконечна), и по теореме Абеля есть выводы о пределе при $x\to c+R^{-}$.
Вывод: исходное утверждение верно для внутренних и внешних точек, но поведение на границе $|x-c|=R$ неоднозначно и требует отдельного анализа каждой граничной точки стандартными признаками сходимости.