Задача на анализ: приведите пример функции, кусочно заданной, которая непрерывна на всей прямой, но не имеет производной в бесконечно многих точках, и объясните механизм появления негладкости
Задача на анализ: приведите пример функции, кусочно заданной, которая непрерывна на всей прямой, но не имеет производной в бесконечно многих точках, и объясните механизм появления негладкости
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
f(x)=∣x−n∣для x∈[n−12, n+12),n∈Z, f(x)=|x-n|\quad\text{для }x\in\big[n-\tfrac12,\;n+\tfrac12\big),\quad n\in\mathbb{Z},
f(x)=∣x−n∣для x∈[n−21 ,n+21 ),n∈Z, (альтернативно f(x)=mink∈Z∣x−k∣f(x)=\min_{k\in\mathbb{Z}}|x-k|f(x)=mink∈Z ∣x−k∣).
Непрерывность: на стыках x=n±12x=n\pm\tfrac12x=n±21 значения с левой и правой стороны совпадают (=1/2=1/2=1/2), в целых точках x=nx=nx=n значение f(n)=0f(n)=0f(n)=0 и пределы слева и справа равны 000. Значит fff непрерывна на R\mathbb{R}R.
Дифференцируемость: для x∈(n−12,n)x\in(n-\tfrac12,n)x∈(n−21 ,n) имеем f′(x)=−1f'(x)=-1f′(x)=−1, для x∈(n,n+12)x\in(n,n+\tfrac12)x∈(n,n+21 ) — f′(x)=+1f'(x)=+1f′(x)=+1. В точке x=nx=nx=n левый производный −1\!-1−1, правый +1+1+1, следовательно fff не дифференцируема в x=nx=nx=n. Так как nnn — произвольное целое, негладких точек бесконечно много.
Механизм негладкости: кусочно-линейные участки с модулем создают «углы» (разрыв углового коэффициента) в целых точках; скачок наклона слева/справа даёт отсутствие единой касательной.