Короткий ответ: в общем — нельзя. Теорема Ванцеля (1837) показывает, что трисекция произвольного угла циркулем и линейкой в общем случае неосуществима; возможна только для специальных углов, удовлетворяющих алгебраическому критерию конструкируемости.
Пояснение (кратко, с формулами).
- Пусть нужно разделить угол $\theta$ на три равные части: $\theta =3\phi$. Обозначим $x=\cos \theta$ и $c=\cos \phi$. Тогда выполняется тождество тройного косинуса
$$x=\cos 3\phi =4c^3-3c,$$ и $c$ является корнем кубического уравнения
$$4c^3-3c-x=0.$$ - Число (угол) конструкируемо циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда соответствующее вещественное выражение получено из рациональных чисел последовательностью квадратных расширений. Алгебраически это означает: минимальный многочлен числа над $\mathbb{Q}$ должен иметь степень, являющуюся степенью двойки $(2^k)$.
- Следовательно, $\theta$ трисек­тируема тогда и только тогда, когда один из корней кубического уравнения выше (то есть $\cos (\theta /3)$) принадлежит полю, получаемому из $\mathbb{Q}(x)$ путем последовательных квадратичных расширений. Если минимальный многочлен корня имеет степень 3 (не степень двойки), то трисекция невозможна.
Примеры и следствия:
- Угол $60^{\circ }$: $x=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$. Кубическое уравнение $4c^3-3c-\frac{1}{2}=0$ ирредуцируемо над $\mathbb{Q}$, следовательно $\cos 20^{\circ }$ не конструктивно; значит $60^{\circ }$ нельзя разделить на три равные части циркулем и линейкой (то есть нельзя получить $20^{\circ }$).
- Угол $90^{\circ }$: $x=\cos 90^{\circ }=0$. Уравнение $4c^3-3c=0$ распадается, давая конструкируемое $c=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому $90^{\circ }$ трисектируется (даёт $30^{\circ }$).
- В частности, только некоторые углы (например те, для которых соответствующее кубическое уравнение разлагается в квадратичные и линейные множители над полем $\mathbb{Q}(x)$) поддаются трисекции; для "общего" угла (например случайный рациональный угол вроде $60^{\circ }$) трисекция невозможна.
Итог: общая трисекция угла циркулем и линейкой невозможна из‑за алгебраической неприводимости соответствующего кубического уравнения; возможна лишь в частных случаях, когда $\cos (\theta /3)$ конструктивно выражается через $\cos \theta$ с помощью конечной последовательности извлечений квадратных корней.