Кратко: такое сокращение корректно, когда отброшенный остаток сравнительно мал по отношению к тому, с чем вы сравниваете выражение (здесь — по отношению к $x$). Надёжно оценить погрешность можно через остаток ряда Тейлора (форма Лагранжа) или неравенство для чередующегося ряда.
Детали и оценки.
1) Запись с остатком:
$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+R(x).$$
2) Оценка остатка (форма Лагранжа) — существует $\xi$ между $0$ и $x$ такая, что
$$R(x)=\frac{\sin (\xi )}{24}{x}^4.$$ Отсюда, поскольку $|\sin (\xi )|\le |\xi |\le |x|$,
$$|R(x)|\le \frac{|x{|}^5}{24},$$ то есть $R(x)=O(x^5)$ при $x\to 0$.
(Альтернативно, для $|x|\le 1$ можно воспользоваться чередующимся рядом и получить более точную оценку
$$|R(x)|\le \frac{|x{|}^5}{5!}=\frac{|x{|}^5}{120}.$$ )
3) Применение к пределу:
$$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{6}+\frac{R(x)}{x}.$$ По оценке $|R(x)|\le C|x{|}^5$ имеем $\frac{R(x)}{x}=O(x^4)\to 0$ при $x\to 0$. Поэтому
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1.$$
Вывод: отбросить старшие члены можно, если вы показываете, что остаток при делении на нужную степень $x$ стремится к нулю (т.е. остаток — $o(x)$, $o(x^2)$ и т.д., в зависимости от задачи). Для синуса после терма $-x^3/6$ остаток равен $O(x^5)$, так что в вычислении ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$ такое сокращение полностью оправдано.