Коротко и по существу.
Геометрическая интерпретация
- Корень $z_0$ многочлена $p(z)$ — это точка на комплексной плоскости, которую отображение $p:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ посылает в ноль: $p(z_0)=0$. При этом локально
$$p(z)\approx a(z-z_0{)}^m(a\ne 0),$$ где $m$ — кратность корня. Геометрически это значит, что окрестность $z_0$ отображается на окрестность нуля с кратностью $m$: аргумент изображения при обходе $z_0$ меняется на $m$ оборотов.
- Если коэффициенты многочлена действительные, корни либо действительны, либо появляются парами сопряжённых: если $z_0$ — корень, то $\overline{z_0}$ тоже корень. Следствие: количество корней в верхней полуплоскости равно количеству в нижней по парам; действительные корни лежат на границе (мнимой части 0).
Критерии на количество корней в верхней полуплоскости
1) Формула аргумента (принцип аргумента). Для контура $C$ (замкнутого, не проходящего через корни)
$$N_C=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{p^{\prime }(z)}{p(z)}dz=\frac{1}{2\pi }{\Delta }_C\arg p(z),$$ где $N_C$ — число нулей (с кратностями) внутри $C$. При выборе $C$ как отрезка $[-R,R]$ по действительной оси и большого полуокружности в верхней полуплоскости и пропуске $R\to \infty$ получаем для числа корней в верхней полуплоскости $N_{+}$ $$N_{+}=\frac{n}{2}+\frac{1}{2\pi }{\Delta }_{t=-\infty }^{+\infty }\arg p(t),$$ где $n=\mathrm{deg}p$ и ${\Delta }_{-\infty }^{+\infty }\arg p(t)$ — полное изменение аргумента значения многочлена при пробегании по действительной оси от $-\infty$ до $+\infty$. Практически это реализуется как подсчёт витков образа реальной оси $p(\mathbb{R})$ вокруг нуля (Nyquist‑подход).
2) Преобразования и существующие критерии. Верхнюю полуплоскость можно преобразовать в единичный диск или правую полуплоскость:
- Мёбиусово отображение
$$w=\frac{z-i}{z+i}$$ переводит верхнюю полуплоскость в единичный диск. Тогда число нулей $p$ в верхней полуплоскости равно числу нулей композиции в единичном диске, для которого применимы тесты Schur–Cohn / Jury.
- Аналогично можно свернуть в правую полуплоскость и применить критерий Рауса–Гурвица (он даёт количество корней с положительной действительной частью; после мёбиусова отображения даёт число в верхней полуплоскости).
3) Теоретико-алгебраические критерии. Для многочленов без действительных корней есть точная характеристика (Hermite–Biehler): представив $p$ через чётную и нечётную части на действительной оси (или как $p(x)=E(x)-iO(x)$ при $x\in \mathbb{R}$), все корни лежат в верхней полу-плоскости тогда и только тогда, когда действительные полиномы $E$ и $O$ имеют только простые вещественные корни, которые строго чередуются, и выполняется дополнительное знаковое условие (это даёт критерий в терминах интерляции нулей реальных и мнимой частей).
Практические замечания
- Для численного определения $N_{+}$ обычно используют аргументный метод (компьютерно вычисляют изменение аргумента вдоль большой полуокружности и вдоль реальной оси) или преобразуют задачу к тестам для единичного диска / правой полуплоскости (Schur‑Cohn, Routh‑Hurwitz).
- Конечная проверка: кратные корни и корни на границе (действительные) требуют осторожной обработки (контуры не должны проходить через корни).
Кратко: геометрически корни — предобразы нуля, кратность — число оборотов при обходе; количество в верхней полуплоскости даётся принципом аргумента (витки образа реальной оси) и может быть проверено преобразованиями + специальными теоремами (Hermite–Biehler) или алгоритмами (Routh/Hurwitz после мёбиуса, Schur–Cohn).