Рассматривайте уравнение в общем виде
$$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=r(x).$$ Ниже — сравнение методов и обоснование выбора.
1) Редукция порядка (reduction of order)
- Условие применения: известено одно решение однородного уравнения $y_1(x)$.
- Идея и формула: ищем второе решение вида $y_2=y_{1}v$. Получается после исключения членов, содержащих $v$,
$$y_2(x)=y_1(x)\int \frac{e^{-\int p(x)dx}}{y_1(x{)}^2}dx.$$ - Плюсы: даёт явное второе решение, сводит задачу к интегрированию одного выражения; экономно и точечно.
- Минусы: требует заранее известного $y_1$; интеграл может быть невыразим в элементарных функциях.
2) Вариация постоянных (variation of parameters)
- Условие применения: известны две независимые фундаментальные решения однородного уравнения $y_1,y_2$ (т.е. фундаментальная система).
- Формула для частного решения:
$$y_p=-y_1\int \frac{y_{2}r}{W}dx+y_2\int \frac{y_{1}r}{W}dx,W=y_1{y}_2^{\prime }-y_1^{\prime }{y}_2.$$ - Плюсы: общий метод для нахождения частного решения при любом правом члене $r(x)$; универсален.
- Минусы: требует известных $y_1,y_2$; интегралы могут быть громоздкими или неэлементарными; вычислительно тяжелее, чем редукция порядка.
3) Численное интегрирование
- Подход: свести к системе первого порядка
$$u_1=y,u_2=y^{\prime },u_1^{\prime }=u_2,u_2^{\prime }=-p(x)u_2-q(x)u_1+r(x),$$ и применять адаптивные методы (RK4/RK45, метод Бэкуса–Форварда, для жёстких задач — имплицитные BDF/схемы).
- Плюсы: не требует аналитических выражений; подходит для произвольных коэффициентов и для практических численных задач; управление ошибкой и шагом.
- Минусы: даёт только численное приближение; для краевых задач требуется стрельба/коллокации/разностные схемы; возможны проблемы со жёсткостью, накоплением ошибок.
4) Когда предпочесть каждый метод (правило выбора)
- Если уравнение сводимо к известному типу (Эйлера-Коши, Бесселя, Лежандра и т.д.) — применяйте соответствующее преобразование/табличные решения.
- Если известен один аналитический решение $y_1$ — используйте редукцию порядка.
- Если известны два решения однородного — для нахождения частного решения берите вариацию постоянных.
- Если есть регулярная особая точка — рассмотрите метод Фробениуса (ряд) для аналитического разложения.
- Если коэффициенты общие/интегралы невыразимы/нужно численное поведение — используйте численное интегрирование; при наличии жёсткости — implicit/BDF; при краевой задаче — метод стрельбы или коллокации/конечных разностей.
5) Дополнительные инструменты (которые часто предшествуют выбору)
- Поиск первого решения через симметрии, поворот Лиувилля (приведение к нормальной форме) или замену переменных.
- Асимптотика/WKB для больших параметров.
- Сериализация (ряд Фробениуса) если решение вблизи особой точки.
Краткое резюме: редукция порядка — лучший выбор, когда есть одно известное решение; вариация постоянных — когда есть обе фундаментальные функции и нужно найти частное решение; численные методы — когда аналитические методы не дают явных выражений или требуется численное значение/сложные коэффициенты или краевые условия.