Кратко и по делу — когда применять t‑распределение, а когда нормальное приближение при оценке среднего при неизвестной дисперсии, и как на это влияют размер выборки и форма популяции.
Основное правило
- Если выборка из нормально распределённой популяции, статистика
$$t=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}$$ имеет точно t‑распределение с $n-1$ степенями свободы; используйте t‑критерий/интервалы:
$$\bar{x}\pm t_{n-1,1-\alpha /2}\frac{s}{\sqrt{n}}.$$ - Если дисперсия неизвестна, но выборка большая, то по ЦПТ можно приближать распределение выборочного среднего нормальным и использовать z‑приближение с оценкой дисперсии:
$$z\approx \frac{\bar{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}\sim N(0,1),$$ а доверительный интервал примерно
$$\bar{x}\pm z_{1-\alpha /2}\frac{s}{\sqrt{n}}.$$
Влияние размера выборки
- Для малого $n$ (обычно $n<30$) использование t обязателено при условии, что популяция близка к нормальной; t учитывает дополнительную неопределённость оценки дисперсии (тяжёлые хвосты).
- При большом $n$ (правило типа $n\ge 30$ или $n\ge 50$, в зависимости от ситуации) распределение t быстро сходится к нормальному, поэтому z‑приближение становится адекватным: $t_{n-1}\to N(0,1)$ при $n\to \infty$.
Влияние формы популяции
- Если популяция нормально распределена: t корректен при любом $n$.
- Если популяция несильно скошена и не имеет тяжёлых хвостов: ЦПТ даёт приближение уже при умеренных $n$ (обычно $n\gtrsim 30$).
- При сильной асимметрии или тяжёлых хвостах нужны гораздо большие $n$ для нормального приближения; для малых выборок в таких случаях ни t, ни z могут давать неверные уровни доверия/значимости.
- Наличие выбросов делает оценку среднего и стандартного отклонения ненадёжной; рассмотрите медиану/робастные методы или бутстрэп.
Практические рекомендации
- Если $n$ мал и вы можете предположить нормальность — используйте t.
- Если $n$ велико ($\gtrsim 30$) и нет экстремальной асимметрии — можно использовать нормальное приближение.
- Если популяция явно не нормальна и $n$ мал — избегайте стандартных t/z; используйте непараметрические методы или бутстрэп (параметрический/непараметрический) для доверительных интервалов и тестов.
- Всегда проверяйте на выбросы и асимметрию (гистограмма, Q‑Q график, коэффициенты асимметрии/эксцесса).
Краткая суть: при неизвестной дисперсии t — «правильный» инструмент при нормальной популяции (особенно для малых $n$); при большом $n$ t≈N и можно применять нормальное приближение; при несоответствии нормальности и малых выборках — прибегайте к бутстрэпу или робастным методам.