Ниже — набор принципиально разных доказательств бесконечности простых, краткие идеи, их глубина и какие обобщения каждое даёт.
1) Евклидово (классическое)
- Идея: если простых конечное множество $p_1,\dots ,p_n$, взять $N=p_1\cdots p_n+1$.
- Коротко: никакой $p_i$ не делит $N$, значит есть новый простой делитель.
- Обобщения: показывает лишь бесконечность простых; даёт конструктивный приём для получения «новых» делителей, но не даёт информации об их распределении. Очень элементарно.
2) Вариант с факториалом
- Идея: взять $N=n!+1$. Любой простой, не превышающий $n$, не делит $N$.
- Обобщения: аналогично Евклиду; иногда удобен для доказательства, что среди больших чисел есть «новые» простые. Элементарен.
3) Евлеровский (аналитический, через ряд обратных)
- Идея: если простых конечное число, то ряд обратных простых ${\sum }_p\frac{1}{p}$ сходился бы; Евлер показывает, что он расходится. Использует факторизацию гармонического ряда:
$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=\prod _p\frac{1}{1-p^{-1}}$.
- Коротко: правая часть расходится, значит простых бесконечно много.
- Обобщения: даёт аналитическое представление и предвосхищает идею плотности простых; метод расширяется к изучению произведений/серий (теория дзета‑функций). Требует элементарного анализа/теории рядов — глубже, чем Евклид.
4) Топологическое (Фёрстенберг)
- Идея: вводится некоторая топология на $\mathbb{Z}$ (основана на арифметических прогрессиях) и доказывается, что если простых конечное число, то $\{0\}$ является одновременно открыт(ое) и замкнутое множество, противоречие.
- Обобщения: концептуально красиво, подчёркивает роль арифметических прогрессий; редко даёт конструктивную информацию. Глубина — нетрадиционная, концептуально абстрактна, но не аналитически тяжела.
5) Доказательство через порядки и циклотомические многочлены / Zsigmondy
- Идея: для последовательностей вида $a^n-1$ (или значений циклотомических многочленов) почти при всех $n$ существует «примитивный» простой делитель, делящий $a^n-1$, но не делящий ни одного $a^k-1$ при $k<n$ (теорема Zsigmondy).
- Коротко: из этого следует бесконечность простых.
- Обобщения: мощный метод для доказательства бесконечности простых, делящих значения рекуррентных последовательностей или полиномов; ведёт в алгебраическую теорию чисел. Глубже Евклида, использует свойства мультипликативных порядков и факторизации.
6) Шур/полиномиальный метод
- Идея (Шур): для целого многочлена $f(x)$ ненулевого и не имеющего общей делящейся константы значения найдётся бесконечно много простых, которые делят хотя бы одно значение $f(n)$. Конструкция наподобие Евклида (подбор $N$ с учётом значений $f$).
- Обобщения: разрешает получить бесконечность простых среди делителей значений полиномов; не даёт, в общем, утверждений о бесконечности простых значений самого полинома (Bunyakovsky — открытая). Средней глубины, чисто элементарная числовая теория.
7) Дирихле (теорема о прогрессиях)
- Идея: для взаимно простых $a,q$ существует бесконечно много простых $p\equiv a(\mathrm{mod}q)$. Доказательство использует $L$-функции и их ненулевость в $s=1$.
- Обобщения: сильное утверждение о распределении простых в арифметических прогрессиях; требует аналитических методов теории чисел (характеры, аналитическое продолжение). Глубже всех перечисленных раньше.
8) Теория алгебраических чисел
- Идея: доказать бесконечность простых идеалов в кольцах целых чисел в расширениях полей; часто используют свойства классов и норм.
- Обобщения: даёт естественные обобщения на идеалы, позволяет доказывать бесконечность простых с нужными разложениями в расширениях (чему способствует, например, теорема Чеботарёва). Самая «структурная» и самая глубокая рамка.
Сравнение по глубине и причинам разных обобщений
- Простые элементарные конструкции (Евклид, факториал, Шур) требуют только арифметики и дают общие выводы о бесконечности, но плохо подходят для контроля положения/плотности простых. Они обобщаются на значения полиномов/последовательностей, где можно повторить евклидову идею (Schur, Zsigmondy).
- Аналитические методы (Эйлер, Дирихле) требуют работы с рядами/функциями и дают информацию о распределении (расходящиеся ряды, плотности, прогрессии). Их обобщения возможны, когда существует подходящая $L$-функция/произведение Эйлера и можно контролировать её поведение у $s=1$.
- Алгебраические/циклотомические методы подключают структуру мультипликативных порядков и факторизации многочленов; они естественно обобщаются в теорию алгебраических чисел и к вопросам о примитивных делителях последовательностей.
- Топологический подход даёт концептуальное объяснение через структуру множеств/прогрессий, но менее пригоден для уточнённых обобщений о распределении.
Ключевая причина различий: разные доказательства опираются на разные структуры (комбинаторика/арифметика, аналитика рядов, группа/порядки, структура полей/идеалов или топология). Возможность обобщения определяется тем, доступна ли та же структура в новой ситуации (например, существуют ли соответствующие $L$-функции, циклотомические факторы, или можно повторить евклидово построение).
Если нужно, могу написать однотипные короткие доказательства (Евклид, Эйлер, Zsigmondy, Дирихле) более формально и с формулами.