Ответ:
1) Выражение упрощается так:
$$\sin (\arctan x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}},\cos \left(\arcsin \frac{x}{1+x^2}\right)=\sqrt{1-{\left(\frac{x}{1+x^2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{1+x^2+x^4}}{1+x^2}.$$
Следовательно
$$\sin (\arctan x)+\cos \left(\arcsin \frac{x}{1+x^2}\right)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{\sqrt{1+x^2+x^4}}{1+x^2}.$$
2) Области определения и ветви (какие преобразования безопасны):
- Для всех реальных $x$ аргумент $\frac{x}{1+x^2}$ принадлежит $[-1/2,1/2]$, поэтому $\arcsin \left(\frac{x}{1+x^2}\right)$ определён для любых $x$. Значит исходное выражение определено на $\mathbb{R}$.
- При переходе $\sin (\arctan x)\to \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ нет неоднозначности знака, потому что $\arctan x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ и косинус этой ветви положителен.
- При переходе $\cos (\arcsin u)\to \sqrt{1-u^2}$ допустимо только если под $\arcsin$ понимается главная ветвь в $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$; тогда $\cos \ge 0$ и берётся положительный корень. Если бы аргумент обратной функции мог выйти за этот интервал, следовало бы учитывать знак $\cos$ и возможное $\pm$.
- Нельзя в общем заменять $\arcsin (\sin y)$ на $y$ или $\arctan (\tan y)$ на $y$ без проверки, что $y$ лежит в соответствующем основном интервале ($[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ для $\arcsin$, $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ для $\arctan$). Такие тождества верны только на этих интервалах.
Итого: упрощение выше корректно для всех $x\in \mathbb{R}$ при использовании главных ветвей обратных тригонометрических функций.