Кратко — основные достаточные условия и контрпример.
1) Теорема Лебега о доминированной сходимости (DCT).
Если $f_n$ измеримы, $f_n\to f$ почти всюду и существует $g\in L^1$ такой, что $|f_n(x)|\le g(x)$ почти всюду для всех $n$, то
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\int f_n=\int f.$$
2) Теорема монотонной сходимости (Beppo Levi).
Если $0\le f_1\le f_2\le \cdots$ и $f_n\uparrow f$ почти всюду, то
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\int f_n=\int f,$$ в том числе для неотрицательных рядов: $\int \sum f_n=\sum \int f_n$ (Tonelli).
3) Равномерная сходимость на множестве конечной меры.
Если $f_n\to f$ равномерно на $E$ и $\mu (E)<\infty$, то
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_n={\int }_{E}f,$$ потому что $|{\int }_E(f_n-f)|\le \mu (E){\sup }_E|f_n-f|\to 0$.
4) Сходимость в $L^1$.
Если $f_n\to f$ в $L^1$, то
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\int f_n=\int f,$$ так как ∣∫fn−∫f∣≤∫∣fn−f∣→0\big|\int f_n-\int f\big|\le\int|f_n-f|\to0 ∫fn −∫f ≤∫∣fn −f∣→0.
5) Перестановка суммы и интеграла. Достаточно, чтобы либо все $f_k\ge 0$ (Tonelli), либо ${\sum }_k\int |f_k|<\infty$ (абсолютная сходимость), либо существовал интегрируемый доминирующий $g$ с $|f_k|\le g$ и т.д.
6) Более тонкое условие — равномерная интегрируемость (Vitali): если $(f_n)$ равномерно интегрируема и $f_n\to f$ по мере, то $\int f_n\to \int f$.
Контрпример (когда нельзя менять предел и интеграл). На $[0,1]$ положим
$$f_n(x)=n{1}_{[0,1/n]}(x).$$ Тогда $f_n(x)\to 0$ для каждого фиксированного $x\in (0,1]$, но
$${\int }_0^1{f}_n(x)dx=n\cdot \frac{1}{n}=1.$$ Значит ${\lim }_{n\to \infty }\int f_n=1$, тогда как $\int {\lim }_{n\to \infty }{f}_n=\int 0=0$. Здесь не выполнено условие доминирования интегрируемой функцией (масса «уходит» в узкий пик).
Краткое объяснение сути: обмен предела и интеграла возможен, если либо есть интегрируемый доминирующий множитель, либо монотонность, либо сходимость достаточно сильная (равномерная или в $L^1$), либо нет «перемещения массы» вне контроля.