Коротко о различиях:
- Интегрирование по ординате (по $y$) удобно, если границы фигуры задаются явно как $x=g_1(y)$ и $x=g_2(y)$ (левый/правый контуры). Тогда площадь выражается одной интегральной формулой $A={\int }_{y_1}^{y_2}(g_2(y)-g_1(y))dy$.
- Разбиение на простые фигуры удобно, когда границы — отрезки/треугольники/круги и можно точно покрыть фигуру конечным числом таких частей; для криволинейных краёв это либо громоздко, либо даёт приближение.
- Интегрирование по абсциссе (по $x$) предпочтительнее, если границы заданы как $y=f_1(x)$, $y=f_2(x)$. Часто при выборе «вертикальных» сечений требуется разбиение области по значениям $x$ (несколько интегралов), тогда вычисления усложняются.
Пример, где интегрирование по $y$ заметно проще:
Рассмотрим область $D$, ограниченную кривыми
$$x=y^2\text{и}x=2-y^2.$$ Точки пересечения при $y^2=2-y^2$ дают $y=\pm 1$. Площадь через интегрирование по $y$:
$$A={\int }_{-1}^1((2-y^2)-y^2)dy={\int }_{-1}^1(2-2y^2)dy=[2y-\frac{2}{3}{y}^3{]}_{-1}^1=\frac{8}{3}.$$ Если пытаться интегрировать по $x$, нужно разделить область на два участка по $x$ (в точке $x=1$), поскольку для $0\le x\le 1$ вертикальная сечение даёт $y\in [-\sqrt{x},\sqrt{x}]$, а для $1\le x\le 2$ — $y\in [-\sqrt{2-x},\sqrt{2-x}]$. Тогда
$$A={\int }_0^{1}2\sqrt{x}dx+{\int }_1^{2}2\sqrt{2-x}dx,$$ что требует двух интегралов (хотя в итоге даёт тот же результат $\frac{8}{3}$). Поэтому в этом примере интегрирование по $y$ короче и нагляднее: границы заданы как функции $x=g(y)$, и требуется один интеграл, тогда как по $x$ нужен разбиение по интервалам.