Утверждение верно: простых чисел вида $4k+3$ бесконечно много.
1) Эвклидовский (прямой) доказательство.
Пусть предположим, что таких простых конечное число $p_1,\dots ,p_n$. Положим
$$N=4p_1{p}_2\cdots p_n-1.$$ Тогда $N\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ и для каждого $i$ имеем $N\equiv -1(\mathrm{mod}{p}_i)$, следовательно ни одно из $p_i$ не делит $N$. Возьмём простой делитель $q$ числа $N$. Так как $N$ нечётно, $q\ne 2$. Если бы все простые делители $q$ числа $N$ были $\equiv 1(\mathrm{mod}4)$, то произведение таких делителей давало бы $N\equiv 1(\mathrm{mod}4)$, что противоречит $N\equiv 3(\mathrm{mod}4)$. Следовательно существует по крайней мере один простой делитель $q\equiv 3(\mathrm{mod}4)$, не совпадающий с любым из $p_i$. Противоречие с конечностью списка. Значит простых $4k+3$ бесконечно много.
Ключевая мысль: число вида $4m-1$ имеет по крайней мере один простой делитель, равный $3$ по модулю $4$, и можно этим способом породить новый такой простой.
2) Подход через теорию квадратичных вычетов / алгебраические методы.
Более системный подход использует характеры по модулю $4$ (символ Лежандра/якоби) и теорию расширений квадратичных полей. В частности, свойство, что $-1$ является квадратичным невычетом по модулю простого $p$ тогда и только тогда, когда $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$, позволяет строить рассуждения о распределении таких простых. Алгебраические методы (теория классов, факторизация в кольце гауссовых целых $\mathbb{Z}[i]$) дают структурное объяснение, почему простые $1(\mathrm{mod}4)$ «расщепляются», а $3(\mathrm{mod}4)$ остаются неприводимыми, и вместе с дополнительными конструкциями дают доказательства о бесконечности тех или иных классов простых (хотя для класса $4k+3$ самый простый конечный аргумент — эвклидовский выше).
3) Аналитический подход (Теорема Дирихле).
Сильнейший общий результат — теорема Дирихле о простых в арифметической прогрессии: для любых взаимно простых $a,d$ существует бесконечно много простых вида $a+nd$. Применив её к $a=3,d=4$, получаем бесконечность простых $4k+3$. Дирихле даёт также асимптотическую оценку числа таких простых до $x$. Доказательство Дирихле существенно аналитическое: вводятся $L$-функции для характеров и используется их поведение при $s\to 1$.
Сравнение подходов (кратко)
- Эвклидовский (конструктивный): простой, элементарный, даёт чистое существование и показывает, как строить новый простой; не даёт статистики и оценок.
- Алгебраические методы (характеры, кольца целых): дают объяснение через факторизацию в расширениях, полезны для более тонких классификаций; требуют теории чисел/алгебры.
- Аналитические методы (Дирихле и далее): самые мощные для общих утверждений и количественных оценок (плотность, асимптотика), но существенно сложнее технически.
Вывод: существуют бесконечно много простых чисел вида $4k+3$. Простейшее доказательство — указанный эвклидовский конструктивный аргумент; для более глубоких результатов (распределение, плотность) используются теорема Дирихле и аналитические/алгебраические методы.