Ошибка в том, что забыто условие связности области определения (и/или начальное условие). Корректно: из $f^{\prime }=g^{\prime }$ следует лишь, что разность $h=f-g$ имеет нулевую производную, то есть $h^{\prime }=0$. Это даёт, что $h$ постоянна на каждой связной компоненте области определения, но на разных компонентах постоянные могут быть разными.
Пример-контрпример: пусть область $D=(-\infty ,0)\cup (0,\infty )$. Пусть
$$f(x)\equiv 0,g(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0,\\ 1,& x>0.\end{array}$$ Обе функции дифференцируемы на $D$ и $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)=0$ на $D$, но $f\ne g$.
Утверждение становится верным при дополнительном условии, что область определения — связное множество (например, интервал). Тогда из $h^{\prime }=0$ и теоремы о среднем значении следует, что для всех $x$ в области $h(x)=C$, т.е.
$$f(x)=g(x)+C.$$ Чтобы получить $f=g$, достаточно дополнительно потребовать совпадение в одной точке, например $f(x_0)=g(x_0)$ для некоторого $x_0$ на области определения (тогда $C=0$).