Коротко — суть и пример.
1) Что такое «выбор главного элемента по строке». Это стратегия, при которой в текущей (i‑й) строке выбирают элемент наибольшего по модулю и (обычно) переставляют столбцы, чтобы он стал текущим ведущим элементом. (Отличается от привычного частичного выбора по столбцу, где ищут максимум в текущем столбце и переставляют строки.)
2) Когда даёт численно устойчивый результат. Выбор по строке обычно безопасен, если по строкам матрица «хорошо масштабирована» и большие элементы строки находятся в тех же столбцах, которые используются как веду­щие в процессе — например, при строковой диагональной доминантности или когда для каждой строки её максимальный по модулю элемент также не мал в соответствующем столбце по сравнению с элементами ниже по столбцу. В таких случаях делители (ведущие элементы) остаются относительно большими и множители невелики, поэтому погрешности не усиливаются.
3) Когда приводит к потере точности. Если в некоторых столбцах находятся очень маленькие элементы, а в строках есть большие элементы в других столбцах, то выбор по строке может привести к тому, что в некоторый момент в столбце останется очень малый ведущий элемент $p$ (его не «увидели», выбирая по строке), и при делении появятся очень большие множители $\frac{a_{k,i}}{p}$. Это даёт большой рост факторов округления и потерю точности (большой growth factor).
4) Пример (иллюстрация потери точности). Пусть
$$A=\left(\begin{array}{cc}\epsilon & 1\\ 1& 1\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right),\epsilon =10^{-10}.$$ Первая строка: максимальный по модулю элемент — $1$ в столбце 2, поэтому выбор по строке приводит к перестановке столбцов (меняем местами неизвестные). После этой перестановки в оставшемся шаге на диагонали окажется маленький элемент $\epsilon$ (в исходной позиции $(1,1)$). При прямом исключении появится множитель порядка
$$m=\frac{a_{21}}{p}=\frac{1}{\epsilon }=10^{10},$$ то есть ошибки округления и малые остатки умножаются на $10^{10}$ — большая потеря значащих цифр. В машинной арифметике с конечной точностью это приводит к сильно искаженному решению. (Если вместо выбора по строке применить частичный выбор по столбцу — выбрать в первом столбце элемент с наибольшим модулем — то мы сначала поменяем строки и будем делить не на $\epsilon$, а на $1$, и численная устойчивость заметно лучше.)
Вывод: выбор главного элемента по строке стабилен, когда максимумы строк «совпадают» с хорошими (не малыми) элементами в соответствующих столбцах; он ведёт к потере точности, если такой выбор скрывает малые делители в столбцах, что порождает большие множители и усиление ошибок (пример выше с маленьким $\epsilon$).