Коротко: ряд сходится условно, не сходится абсолютно.
Доказательство и объяснения.
1) Признак Лейбница (чередующийся ряд). Положительные члены
$$a_n=\frac{n}{n^2+1}$$ удовлетворяют
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0,$$ потому что $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n^2+1}=0$. Функция $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ имеет производную
$$f^{\prime }(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2},$$ поэтому $f^{\prime }(x)<0$ при $x>1$, т.е. $a_n$ убывают для всех $n\ge 2$. Следовательно по признаку Лейбница ряд
$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{n}{n^2+1}$$ сходится.
2) Абсолютная сходимость. Рассмотрим ряд абсолютных значений
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{n^2+1}.$$ Поскольку для больших $n$ $\frac{n}{n^2+1}\sim \frac{1}{n}$, применим предельное сравнение с гармоническим рядом:
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{n}{n^2+1}}{\frac{1}{n}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2}{n^2+1}=1\ne 0.$$ Так как $\sum 1/n$ расходится, то и $\sum n/(n^2+1)$ расходится. Значит исходный ряд не сходится абсолютно, только условно.
3) Почему разные подходы могут дать разные впечатления. Некоторые тесты (корневой, показательный) дают неинформативный результат (предел равен 1). Неправильное применение сравнения (без предельного сравнения) может ввести в заблуждение. Кроме того, для условно сходящих рядов перестановка членов может менять сумму (теорема Римана), поэтому вид или группировка членов может создавать впечатление различий, хотя критерии сходимости остаются те же.
Итого: ряд сходится по признаку Лейбница (условно), но не сходится абсолютно (поведение членов как $1/n$).