Решение и обсуждение методик.
1) Факторизация (самый простой и корректный способ)
$$\sin (2x)=2\sin x\cos x,$$ поэтому
$$2\sin x\cos x=2\sin x⟹2\sin x(\cos x-1)=0.$$ Отсюда либо $\sin x=0$, либо $\cos x=1$. Значит
$$x=k\pi ,k\in \mathbb{Z},$$ поскольку $\cos x=1$ даёт частный случай $x=2k\pi \subset \{k\pi \}$.
2) Деление на $\sin x$ (метод с аккуратной проверкой случаев)
Если при решении разделить на $\sin x$ (т.е. предположить $\sin x\ne 0$), то получим
$$\cos x=1⟹x=2k\pi .$$ Нужно отдельно взять случай $\sin x=0$, который даёт $x=k\pi$. Объединяя, получаем тот же результат $x=k\pi$. Вывод: деление допустимо только при явном учёте исключённого случая.
3) Метод замены через тангенс половинного угла (рационализация) — показывает, как кодируется периодичность
Положим $t=\tan \frac{x}{2}$. Тогда
$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\sin 2x=\frac{2\cdot \frac{2t}{1+t^2}\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}}{1}=\frac{4t(1-t^2)}{(1+t^2{)}^2}.$$ Уравнение сводится к алгебраическому уравнению по $t$; решения $t$ дают $x=2\arctan t+2k\pi$. При корректном учёте всех корней и добавлении общего слагаемого $2k\pi$ снова получаем $x=k\pi$. Этот метод требует внимательного восстановления всех периодов через $+2k\pi$.
4) Краткое замечание по комплексным показателям или графику
Метод через экспоненты даёт то же многочленное уравнение по $e^{ix}$ и, при правильном факторинге, те же корни; графический метод (пересечение графиков $\sin 2x$ и $2\sin x$) явно показывает узловые точки через каждые $\pi$.
Как выбор метода влияет на учёт периодичности
- Факторизация сохраняет все случаи сразу и явно показывает структуру решений; периодичность решающего множества видна напрямую: $x=k\pi$ (период $\pi$).
- Деление на $\sin x$ проще, но легко потерять решения при невнимательности — нужно отдельно рассмотреть $\sin x=0$.
- Замены (например $t=\tan \frac{x}{2}$) требуют добавления общего члена $+2k\pi$ при обратной замене, иначе можно потерять периодические копии решений.
- Графический или экспоненциальный подходы работают, но требуют аккуратного учёта всех корней и периодов.
Итог: множество решений
$$\boxed{x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}}.$$