Пусть $c=AB,b=AC,m=AM$ (медиана из $A$). Обозначим угол при вершине $A$ через $\phi$.
Условия совместимости
- Необходимое и достаточное условие существования треугольника:
$$|b-c|\le 2m\le b+c,$$ эквивалентно
$$-1\le \frac{(2m{)}^2-b^2-c^2}{2bc}\le 1.$$ Если условие не выполняется — построение невозможно. Границы дают вырожденные случаи ($2m=b+c$ или $2m=|b-c|$), когда точки коллинеарны.
Вычисление угла при $A$ - Из векторного тождества $|AB+AC|=2m$ получаем
$$\cos \phi =\frac{(2m{)}^2-b^2-c^2}{2bc}.$$ При возможности построения это определяет значение $\phi$ однозначно (в диапазоне $0\le \phi \le \pi$).
Конструкции (руководство для циркуля и линейки)
1. Проверить условие $|b-c|\le 2m\le b+c$.
2. Вычислить (или определить геометрически) угол $\phi$ по формуле $\cos \phi =\frac{(2m{)}^2-b^2-c^2}{2bc}$. Практически: построить отрезок длины $2m$, вокруг его концов начертить окружности радиусов $b$ и $c$ — их пересечение даёт треугольник со сторонами $b,c,2m$; угл между сторонами длины $b$ и $c$ равен искомому $\phi$.
3. Построить луч из точки $A$. На нём отложить луч для стороны $AB$ длины $c$.
4. В точке $A$ отложить угол $\phi$ относительно $AB$; на соответствующем луче отложить точку $C$ на расстоянии $b$.
5. Точки $A,B,C$ образуют искомый треугольник; медиана из $A$ будет иметь длину $m$ по построению.
Неоднозначность
- При выполнимом условии треугольник однозначно определяется (с точностью до движения плоскости): возможны только зеркальные варианты (отражение относительно прямой через $A$), которые являются конгруэнтными треугольниками. Нет двух неконгруэнтных решений при данных числах $b,c,m$.
- В вырожденных краевых случаях ($2m=b+c$ или $2m=|b-c|$) получается единственный вырожденный (коллинеарный) вариант.