Методика: исследуем дискриминант квадратного уравнения.
Дискриминант
$$D=(2p-1{)}^2-4p=4p^2-8p+1.$$
Найдём границы, где $D=0$:
$$4p^2-8p+1=0\Rightarrow p_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{3}}{2}=1\pm \frac{\sqrt{3}}{2}(p_1\approx 0.134,p_2\approx 1.866).$$
Классификация корней в зависимости от $p$:
- Если $p<p_1$ или $p>p_2$, то $D>0$ и уравнение имеет два различных вещественных корня
$$x=\frac{-(2p-1)\pm \sqrt{D}}{2}=\frac{1-2p\pm \sqrt{4p^2-8p+1}}{2}.$$ - Если $p=p_1$ или $p=p_2$, то $D=0$ и корень двойной:
$$x_0=\frac{1-2p}{2}.$$ - Если $p_1<p<p_2$, то $D<0$ и корни комплексно-сопряжённые.
Дополнительно: сумма корней $x_1+x_2=1-2p$, произведение $x_1{x}_2=p$.