Контрпримперы:
- $x=\sqrt{2},y=1-\sqrt{2}$. Тогда $x$ и $y$ иррациональны, но $x+y=1\in \mathbb{Q}$.
- $x=\pi ,y=-\pi$. Тогда $x+y=0\in \mathbb{Q}$.
- Более общая семья: для любого иррационального $x$ и любого рационального $q$ число $y=q-x$ иррационально, но $x+y=q\in \mathbb{Q}$.
Когда сумма обязательно иррациональна:
- В общем виде ровно такое и ровно тогда, когда не выполняется тривиальное соотношение $y=q-x$ с $q\in \mathbb{Q}$. Иначе говоря,
$$x+y\notin \mathbb{Q}⟺y\notin \{q-x\mid q\in \mathbb{Q}\}.$$ Это эквивалентно тому, что числа не лежат на одной рационально-афинной прямой (нет рационального смещения, которое превращает одно в минус другого).
- Сильная полезная достаточная условие: если множесто $\{1,x,y\}$ линейно независимо над $\mathbb{Q}$ (то есть не существует ненулевого тройного $(a,b,c)\in {\mathbb{Q}}^3$ с $a\cdot 1+bx+cy=0$), то, в частности, $x+y\notin \mathbb{Q}$.
Пример суммы, остающейся иррациональной: пусть показать, что $\sqrt{2}+\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}$. Допустим противное: $\sqrt{2}+\sqrt{3}=r\in \mathbb{Q}$. Тогда $\sqrt{3}=r-\sqrt{2}$; возведя в квадрат, получаем $3=r^2-2r\sqrt{2}+2$, откуда $\sqrt{2}=\frac{r^2-1}{2r}\in \mathbb{Q}$ — противоречие.
Замечание о «частоте»: для фиксированного иррационального $x$ множество всех иррациональных $y$, дающих рациональную сумму с $x$, имеет счётный вид $\{q-x\mid q\in \mathbb{Q}\}$; поэтому «почти для всех» (в интуитивном смысле) пар иррациональных чисел сумма будет иррациональна.