Кратко: типичное доказательство состоит из двух частей — монотонность $a_n=(1+1/n{)}^n$ и верхняя оценка $a_n<e$. Ниже — разбор стандартных аргументов и указание, какие места требуют уточнения/обоснования.
1) Доказательство монотонности (две стандартные стратегии)
- Стратегия через непрерывную функцию. Рассматривают $g(x)=x\ln (1+1/x)$ на $x>0$. Вычисляют
$$g^{\prime }(x)=\ln (1+\frac{1}{x})-\frac{1}{x+1},$$ и доказывают $g^{\prime }(x)>0$ (через переменную $t=1/x$: показать $\ln (1+t)>t/(1+t)$ для $t>0$). Отсюда $g$ возрастает, значит последовательность $a_n=\exp (g(n))$ строго возрастает по целым $n$.
- Что требует уточнения: обоснование знака производной (показать строгое неравенство для всех $x>0$), допустимость перехода от монотонности непрерывной функции к монотонности значений в целых точках (обычно тривиально), и то, что при использовании логарифма/экспоненты нельзя заранее пользоваться свойства́ми числа $e$, если $e$ был определён как предел именно этой последовательности (избегать круговой логики).
- Стратегия через сопоставление членов (биномиальное разложение). Пишут
$$(1+\frac{1}{n}{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{1}{n^k},$$ и пытаются сравнить с $(1+\frac{1}{n+1}{)}^{n+1}$ по членам или показать отношение $a_{n+1}/a_n>1$.
- Что требует уточнения: точное сравнение коэффициентов бинома и членов ряда; при прямом покомпонентном сравнении нужно доказать, что соответствующие суммы/члены действительно упорядочиваются в нужную сторону (нельзя просто утверждать «каждый член стал больше» без проверки знаков и индексов). При расчёте отношения $a_{n+1}/a_n$ часто встречаются неочевидные алгебраические преобразования — нужно явно показать положительность получаемого выражения (или сократить до очевидно положительного множителя).
2) Верхняя оценка $a_n<e$
- Доказательство через ряд для $e$. Берут разложение бинома и используют неравенство
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\frac{1}{n^k}=\frac{1}{k!}\prod _{j=0}^{k-1}(1-\frac{j}{n})\le \frac{1}{k!},$$ следовательно
$$(1+\frac{1}{n}{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{1}{n^k}\le \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}<\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}=e,$$ что даёт $a_n<e$.
- Что требует уточнения: доказать неравенство для произведения ${\prod }_{j=0}^{k-1}(1-j/n)\le 1$ (оно верно, но его надо явно указать) и пояснить, по какому определению берётся $e$ (чтобы не получить круговую аргументацию). Также нужно объяснить строгость неравенства: для некоторого $k\ge 2$ произведение строго меньше 1, поэтому сумма первых $n$ членов строго меньше суммы всех членов ряда.
- Альтернативный простой аргумент (если допустимы свойства экспоненты). Используют $\ln (1+x)<x$ для $x>0$, подставляют $x=1/n$ и получают $n\ln (1+1/n)<1\Rightarrow a_n<e$.
- Что требует уточнения: доказать неравенство $\ln (1+x)<x$ (оно стандартно, но нужно указать). И снова — нельзя пользоваться свойствами $e^x$ и $e$, если $e$ определён как предел $a_n$.
3) Замечания по строгости и начальной проверке
- Надо явно проверить базовый случай (например, $a_1=2<a_2=2.25\dots$), чтобы утверждение «строго возрастает» применимо с начала последовательности.
- Строгость в неравенстве $a_n<e$ следует из строгости вспомогательного неравенства (например, $\ln (1+1/n)<1/n$ для конечных $n$).
4) Итог — основные пункты, требующие пояснения в любом доказательстве
- Как определяется $e$. Нельзя одновременно определять $e$ как предел ${\lim }_{n\to \infty }(1+1/n{)}^n$ и затем использовать свойства $e$ (exp, ряд) для доказательства ограниченности этой же последовательности — это круговая логика.
- Ясное обоснование знака производной в аргументе через непрерывную функцию и перехода к целым аргументам.
- Доказательство оценок для биноминальных коэффициентов/произведений (чтобы получить сравнение с $1/k!$).
- Проверка строгости неравенств (когда и почему они строги).
- Корректность покомпонентных сравнений сумм (при сравнении ${\sum }_{k=0}^n$ и ${\sum }_{k=0}^{n+1}$).
Если нужно, могу привести одно строго оформленное доказательство (без круговой логики) с полным обоснованием каждого шага.