Задача для учащихся:
Исправьте три неверно (или двусмысленно) сформулированные теоремы о подобии треугольников: для каждой
1) укажите, что именно вводит в заблуждение,
2) приведите контрпример (числовой или описательный),
3) запишите корректную формулировку.
Даны утверждения (найдите ошибки и исправьте):
A. «Если один угол одного треугольника равен одному углу другого, то треугольники подобны.»
B. «Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.»
C. «Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и ещё один угол у них равен (не уточнено, какой), то треугольники подобны.»
Решение — подсказки и ответы (коротко):
1) A — ошибочно:
- Почему вводит в заблуждение: один равный угол не определяет форму треугольника (остальные углы могут быть разными).
- Контрпример: треугольники с углами $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$ и $30^{\circ },70^{\circ },80^{\circ }$ имеют по одному равному углу $30^{\circ }$, но не подобны.
- Корректная формулировка (признак AA): «Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.» То есть при равенстве двух пар соответствующих углов треугольники подобны.
2) B — ошибочно (недостаточно данных):
- Почему вводит в заблуждение: нужно знать, какие именно стороны соответствуют; две пары сторон пропорциональны не гарантируют подобия без дополнительных условий.
- Контрпример: треугольники со сторонами $2,3,4$ и $4,6,5$. Для них $2:4=3:6=1:2$, но $4:5\ne 1:2$ — треугольники не подобны.
- Корректная формулировка (SSS и SAS для подобия):
- SSS: «Если три пары соответствующих сторон треугольников пропорциональны, то треугольники подобны», т.е. $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\Rightarrow$ подобие.
- SAS: «Если две пары соответствующих сторон пропорциональны и углы между этими парами равны, то треугольники подобны», т.е. при $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$ и равенстве включённого между ними угла — подобие.
3) C — двусмысленно/ошибочно:
- Почему вводит в заблуждение: не указано, является ли равный угол включённым между пропорциональными парами сторон. Если угол не включён, то утверждение в общем случае ложно (аналог неоднозначности случая SSA).
- Контрпример (описательно): возьмём пары сторон, пропорциональные как в пункте B; если равный угол не заключён между этими сторонами, можно получить разные по форме треугольники (один острый, другой тупой), они не обязаны быть подобны.
- Корректная формулировка: «Если две пары соответствующих сторон пропорциональны и угол, равный у треугольников, — это угол, заключённый между этими парами сторон, то треугольники подобны» (SAS для подобия). Если угол не включён, необходимо дополнительное условие (например, третья пара сторон пропорциональна или второй соответствующий угол равен).
Короткие итоги (формулы):
- AA (угл–угл): наличие двух равных пар углов $\Rightarrow$ подобие.
- SAS (сторона–угол–сторона): при $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$ и равенстве включённого угла — подобие.
- SSS (сторона–сторона–сторона): при $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$ — подобие.
Задание для учащихся: для каждого из A, B, C приведите контрпример и запишите исправленную формулировку (можно выбрать SSS, SAS или AA в зависимости от случая).