Коротко и по сути.
Пусть многочлен степени 4 с действительными коэффициентами записан как
$$p(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e,a\ne 0,$$ и его корни: два вещественных $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ и комплексно-сопряжённая пара $z=u+iv,\bar{z}=u-iv$ с $v\ne 0$. Тогда:
1) Факторизация над $\mathbb{R}$:
$$p(x)=a(x-\alpha )(x-\beta )(x^2-2ux+(u^2+v^2)).$$ Квадратичный множитель является неприводимым над $\mathbb{R}$ (его дискриминант отрицателен):
$$\Delta =(-2u{)}^2-4(u^2+v^2)=-4v^2<0.$$
2) Viète — соотношения (через симметрические суммы):
$$\alpha +\beta +2u=-\frac{b}{a},$$ $$\alpha \beta +2u(\alpha +\beta )+(u^2+v^2)=\frac{c}{a},$$ $$2u\alpha \beta +(\alpha +\beta )(u^2+v^2)=-\frac{d}{a},$$ $$\alpha \beta (u^2+v^2)=\frac{e}{a}.$$
3) Выводы о знаках:
- Постоянный член: $e=a\alpha \beta (u^2+v^2)$. Поскольку $u^2+v^2>0$, знак $e$ равен знаку $a\alpha \beta$. Таким образом по знаку $e$ можно судить о знаке произведения вещественных корней относительно знака $a$.
- Коэффициент при $x^4$ ($a$) задаёт знак поведения при $|x|\to \infty$.
- Квадратичный множитель даёт положительную свободную часть $u^2+v^2>0$, но её коэффициент при $x$ ($-2u$) может быть любым знаком.
- Общих однозначных утверждений о знаках всех коэффициентов $b,c,d$ без дополнительной информации о $\alpha ,\beta ,u,v$ сделать нельзя — их знаки связаны через приведённые Viète‑соотношения, но не фиксированы.
Итого: структурно многочлен раскладывается на два линейных множителя и один неприводимый над $\mathbb{R}$ квадратный; дискриминант квадратного множителя отрицателен; свободный член определяется знаком произведения вещественных корней и $a$; остальные знаки коэффициентов зависят от конкретных корней и ограничены только равенствами Viète.