Рассмотрим случайную перестановку на $n$ элементах и обозначим $X_n$ — число фиксированных точек (элементов, оставшихся на своих местах).
1) Точное распределение. Число перестановок с ровно $k$ фиксированными точками равно $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)D_{n-k}$, где $D_m$ — число деренжментов (перестановок без фиксированных точек) из $m$ элементов. Так
$$P(X_n=k)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)D_{n-k}}{n!}.$$ Используя выражение $D_m=m!{\sum }_{i=0}^m\frac{(-1{)}^i}{i!}$, получаем более удобную форму
$$P(X_n=k)=\frac{1}{k!}\sum _{i=0}^{n-k}\frac{(-1{)}^i}{i!}.$$
2) Моменты (коротко). Пусть $I_j$ — индикатор того, что $j$-й элемент фиксирован. Тогда $X_n={\sum }_{j=1}^n{I}_j$ и для фиксированного целого $r\le n$ $$\mathbb{E}[(X_n{)}_r]=\sum _{j_1\ne \cdots \ne j_r}\mathbb{E}[I_{j_1}\cdots I_{j_r}]=(n{)}_r\frac{(n-r)!}{n!}=1,$$ где $(X{)}_r=X(X-1)\cdots (X-r+1)$ — убывающий факториал. В частности
$$\mathbb{E}[X_n]=1,\mathrm{Var}(X_n)=1.$$
3) Предельное распределение при $n\to \infty$. Для каждого фиксированного $k$ в формуле выше сумма стремится к $e^{-1}$, поэтому
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(X_n=k)=\frac{e^{-1}}{k!}.$$ Более строго, факториальные моменты $\mathbb{E}[(X_n{)}_r]\to 1$ для всех фиксированных $r$, что совпадает с факториальными моментами распределения Пуассона с параметром $\lambda =1$. Следовательно
$$X_n\stackrel{d}{}\mathrm{Pois}(1),$$ то есть число фиксированных точек в случайной перестановке сходится по распределению к пуассоновскому с параметром $1$.
Кратко: точная формула $P(X_n=k)=\frac{1}{k!}{\sum }_{i=0}^{n-k}\frac{(-1{)}^i}{i!}$, и при $n\to \infty$ имеем $P(X_n=k)\to e^{-1}/k!$, т.е. предельное распределение — $\mathrm{Pois}(1)$.