Утверждение в общем виде неверно.
Контрпример (классический "шип" на $[0,1]$):
$$f_n(x)=n{1}_{[0,1/n]}(x).$$ Для любого фиксированного $x>0$ при достаточно больших $n$ имеем $x\notin [0,1/n]$, поэтому ${\lim }_{n\to \infty }{f}_n(x)=0$. В точке $x=0$ значения $f_n(0)=n$, но это одна точка не влияет на интеграл. Однако
$${\int }_0^1{f}_n(x)dx={\int }_0^{1/n}ndx=1\text{для всех}n.$$ Следовательно, $f_n\to 0$ поточечно, но $\int f_n\nrightarrow 0$.
Почему так происходит: сходимость поточечная не контролирует "массу" функции — высокие узкие пики могут давать невырожденный вклад в интеграл.
Достаточные условия, при которых из $f_n\to 0$ следует $\int f_n\to 0$:
- Теорема доминированной сходимости (Лебег): если $f_n\to f$ почти везде и существует интегрируемая функция $g$ такая, что $|f_n|\le g$ для всех $n$, то
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\int |f_n-f|=0.$$ В частности при $f\equiv 0$ имеем $\int f_n\to 0$.
- Равномерная сходимость на множестве конечной меры: если $f_n\to 0$ равномерно на множестве $E$ с $\mu (E)<\infty$, то
∣∫Efn∣≤μ(E)sup⁡x∈E∣fn(x)∣→0.\left|\int_E f_n\right|\le \mu(E)\sup_{x\in E}|f_n(x)|\to0. ∫E fn ≤μ(E)x∈Esup ∣fn (x)∣→0. - Теорема о монотонной сходимости: для неотрицательных $f_n\uparrow f$ имеет место $\int f_n\uparrow \int f$ (может применяться в подходящих ситуациях).
- В практических задачах также полезно требовать равной интегрируемости (uniform integrability) или ограничение сверху интегрируемой функцией — эти условия предотвращают "узкие высокие пики".
Кратко: поточечная сходимость сама по себе недостаточна; нужен контроль через доминирующую функцию, равномерность или свойства монотонности/униформной интегрируемости.