Краткие принципы выбора подстановки для интегрирования рациональных тригонометрических функций и контрпримеры неудачных выборов.
1) Универсальная подстановка (Вайерштрас):
- Если интегрант — рациональная функция $R(\sin x,\cos x)$, всегда работает $t=\tan \frac{x}{2}$. Формулы:
$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2dt}{1+t^2}.$
- Преимущества: преобразует в рациональную функцию $R(t)$. Недостаток: иногда даёт многочлены высокой степени, громоздкую алгебру.
2) Простая замена $u=\sin x$ или $u=\cos x$:
- Хорошо, когда дифференциал оставшейся тригонометрической функции умножает выражение: например, если подынтегральное равно $f(\sin x)\cos xdx$, то $u=\sin x$ даёт $du=\cos xdx$ и интеграл прямо упростится. Аналогично для $f(\cos x)\sin xdx$.
- Критерий: должна появиться множитель $\cos x$ (при $u=\sin x$) или $\sin x$ (при $u=\cos x$).
3) Замена $u=\tan x$:
- Хороша, если интегрант представим как рациональная функция от $\tan x$ при наличии множителя ${\sec }^{2}x$, т.е. выражение типа $R(\tan x){\sec }^{2}xdx$, потому что $du={\sec }^{2}xdx$.
- Также полезна, если разделив на ${\cos }^{n}x$ (или ${\sin }^{n}x$) получаем функцию от $\tan x$ и $\sec x$, и далее можно упростить.
4) Сдвиг фазы для линейных комбинаций:
- Для выражений $a\sin x+b\cos x$ полезно сначала сделать сдвиг $x\mapsto x+\phi$ так, что $a\sin x+b\cos x=R\sin (x+\phi )$ (где $R=\sqrt{a^2+b^2}$). После этого применяют пункты 2–3 или $t=\tan \frac{x+\phi }{2}$. Это часто проще, чем сразу $t=\tan \frac{x}{2}$.
5) Правило однородности:
- Если числитель и знаменатель многочлены одной степени в $\sin x,\cos x$, разделите на подходящую степень (например, на ${\cos }^{n}x$) и попробуйте $u=\tan x$. Это снижает степень тригонометрии.
Контрпримеры (показывают неудачность очевидной подстановки):
A) Неподходящая $u=\sin x$:
- Интеграл $\int \frac{dx}{1+\sin x}$. Если взять $u=\sin x$, то $du=\cos xdx$ и получим $\int \frac{du}{(1+u)\cos x}$ — остаётся $\cos x$, не выражаемое через $u$. Это не пригодно. Правильный ход — $t=\tan \frac{x}{2}$: подстановка даёт быстро
$1+\sin x=\frac{(1+t{)}^2}{1+t^2},dx=\frac{2dt}{1+t^2}$ и интеграл сводится к $2\int \frac{dt}{(1+t{)}^2}$.
B) Неподходящая $u=\cos x$:
- Интеграл $\int \sec xdx$. При $u=\cos x$ имеем $du=-\sin xdx$ — снова не совпадает с наличием только $\sec x$. Классические приёмы: умножить на $\frac{\sec x+\tan x}{\sec x+\tan x}$ или использовать $t=\tan \frac{x}{2}$.
C) Неподходящая $u=\tan x$:
- Интеграл $\int \frac{dx}{1+\sin x}$. При $u=\tan x$ имеем $du={\sec }^{2}xdx$, но замена не избавляет от смешанных $\sin$ и $\cos$ в знаменателе и обычно усложняет задачу по сравнению с $t=\tan \frac{x}{2}$.
D) Слишком ранний Weierstrass:
- Формально всегда рабочая, но для простых случаев (например, $\int \sin x/(1+\cos x)dx$) она создаст излишнюю громоздкость. Лучше сначала заметить, что при $\int \frac{\sin x}{1+\cos x}dx$ подойдёт $u=\cos x$ (т.к. $du=-\sin xdx$) и интеграл сразу равен $-\int \frac{du}{1+u}$.
Краткое практическое руководство:
- Сначала ищите очевидный дифференциальный множитель (если есть $\cos x$ рядом с функцией от $\sin x$ — берите $u=\sin x$, и т.д.).
- Если присутствуют комбинации $a\sin x+b\cos x$ — попробуйте сдвиг фазы.
- Если интегрант рационален в $\tan x$ и стоит ${\sec }^{2}x$ — берите $u=\tan x$.
- Если ничего из вышеперечисленного не даёт простоты — применяйте $t=\tan \frac{x}{2}$.
Это набор критериев и типичных ошибок; конкретный выбор подстановки определяется формой подынтегрального выражения.