Задача. Даны точки $A$ и $B$ такие, что $AB=2c$. Постройте множество точек $P$, для которых разность расстояний до фокусов равна заданной постоянной $2a$:
$$|PA-PB|=2a,0<2a<2c.$$
Решение и объяснение, почему это гипербола.
1) Выберите систему координат так, чтобы $A(-c,0)$, $B(c,0)$. Пусть $P(x,y)$. Условие даёт
∣(x+c)2+y2−(x−c)2+y2∣=2a. \bigl|\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}\bigr|=2a.
(x+c)2+y2 −(x−c)2+y2 =2a. Рассмотрим, например, ветвь с знаком «−»:
$$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}-\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=2a.$$
2) Изолируем один корень и возведём в квадрат:
$$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=2a+\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}.$$ После возведения в квадрат и упрощения получаем
$$cx=a^2+a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}.$$ Ещё раз возведя в квадрат и приведя подобные, получаем
$$(c^2-a^2)x^2-a^2{y}^2=a^2(c^2-a^2).$$
3) Делим на $a^2(c^2-a^2)$ и вводим $b^2=c^2-a^2>0$ (условие $a<c$ нужно для существования решения). Получаем уравнение в каноническом виде:
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,b^2=c^2-a^2.$$
Это уравнение определяет гиперболу с фокусами в точках $A$ и $B$, поперечная ось длины $2a$, вершинами в $(\pm a,0)$. Абсолютная величина в исходном условии даёт две ветви гиперболы (соответствующие двум знакам разности). Таким образом множество точек, для которых разность расстояний до двух данных точек равна константе, есть гипербола.