Обобщённый критерий. Для системы $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ (коэффициентная матрица $A$, вектор правых частей $\mathbf{b}$, число неизвестных $n$):
- Единственное решение: для квадратной $A$ выполняется $\det A\ne 0$. В общем эквивалентно $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}[A|\mathbf{b}]=n$.
- Бесконечно много решений: $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}[A|\mathbf{b}]<n$ (ранг равен, но меньше числа неизвестных).
- Нет решений: $\mathrm{rank}A<\mathrm{rank}[A|\mathbf{b}]$ (ранг увеличивается при добавлении столбца правых частей).
Визуализация в пространстве:
- В ${\mathbb{R}}^2$ система из двух линейных уравнений — это две прямые. Пересечения: одна точка $\Rightarrow$ единственное решение; совпадающие прямые $\Rightarrow$ бесконечно много решений; параллельные разные прямые $\Rightarrow$ нет решений.
- В ${\mathbb{R}}^3$ уравнения задают плоскости. Пересечение трёх плоскостей может быть точкой (единственное), прямой или плоскостью (бесконечно много), либо не пересекаться одновременно (нет решений).
Короткие примеры.
1) Пример с уникальным/отсутствием решения:
$$\{\begin{array}{l}x+ty=1,\\ 2x+(t+1)y=3.\end{array}$$ Детерминант коэффициентов: $\det A=1\cdot (t+1)-2t=1-t$.
Если $t\ne 1$, то $\det A\ne 0$ — единственное решение.
Если $t=1$, то системы: $x+y=1,2x+2y=3$. Вторая строка не кратна первой по правой части (левая кратна, правая нет) ⇒ несовместна ⇒ нет решений.
2) Пример с бесконечно множеством решений:
$$\{\begin{array}{l}x+ty=1,\\ 2x+2ty=2.\end{array}$$ Второе уравнение равно $2$ раза первому как по коэффициентам и по правой части, поэтому ранги совпадают и меньше числа неизвестных ⇒ бесконечно много решений для любого $t$.
Используйте проверку рангов или вычисление $\det A$ (для квадратных систем) для конкретной системы с параметром $t$.