Ошибка обычно в некорректном обмене пределов/интегрирования или в пренебрежении особенностью в нуле (нет равномерной сходимости). Правильный результат и корректный метод:
1) Ввести параметр $s>0$:
$$I(s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-sx}\frac{\sin x}{x}dx.$$ Для $s>0$ можно дифференцировать под знаком интеграла:
$$I^{\prime }(s)=-{\int }_0^{\infty }{e}^{-sx}\sin xdx=-\frac{1}{1+s^2}.$$ Интегрируя по $s$:
$$I(s)=-\arctan s+C.$$ Так как $I(s)\to 0$ при $s\to \infty$, получаем $C=\pi /2$, значит
$$I(s)=\frac{\pi }{2}-\arctan s.$$ Беря предел $s\to 0^{+}$,
$${\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx=I(0)=\frac{\pi }{2}.$$
2) Кратко о причине ошибки: нельзя подставлять предельное значение параметра (или менять пределы интегрирования и предельные операции) в случае несобственного или неравномерно сходящегося интеграла; это и приводит к ложному значению $1$.