Краткий ответ: утверждение верно при условии, что предел $L$ положителен ($L>0$). Если $a_n>0$ и $a_n\to L>0$, то $\log a_n\to \log L$. При $L=0$ верно, что $\log a_n\to -\infty$ (не конечный предел); при $L=+\infty$ имеем $\log a_n\to +\infty$.
Разбор корректного доказательства (коротко):
- Общий принцип: логарифм (любой положительной основы, отличной от 1) непрерывен на $(0,\infty )$. Значит из $a_n\to L$ и $L>0$ следует $\log a_n\to \log L$.
- Конкретное доказательство через теорему о среднем значении: так как $a_n\to L>0$, существует $N$ такой, что для $n\ge N$ выполнено $a_n\ge L/2$. По М.З. для каждого такого $n$ найдётся ${\xi }_n$ между $a_n$ и $L$ с
$$\ln a_n-\ln L=\frac{a_n-L}{{\xi }_n}.$$ Поэтому для $n\ge N$ $$|\ln a_n-\ln L|\le \frac{|a_n-L|}{{\xi }_n}\le \frac{|a_n-L|}{L/2}=\frac{2}{L}|a_n-L|\to 0,$$ значит $\ln a_n\to \ln L$.
Ошибки, которые встречаются: пропуск условия $L>0$. Пример контр-пояснения: для $a_n=1/n$ имеем $a_n\to 0$, но $\ln a_n\to -\infty$, а не к $\ln 0$ (последнее не определено).
Замечание: доказательство одинаково для любого логарифма (натурального, десятичного и т.д.), так как разные основания отличаются постоянным множителем.