В трапеции ABCD(AD и BC основания) диагонали пересекаются в точке О, SAOD=32 см², SBOC=8см². Найдите наименьшее основание трапеции, если наибольшее 10 см.
В трапеции ABCD(AD и BC основания) диагонали пересекаются в точке О, SAOD=32 см², SBOC=8см². Найдите наименьшее основание трапеции, если наибольшее 10 см.
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Пусть AC и BD - основания трапеции, AB - наименьшее основание, а CD - наибольшее основание.
Так как AD и BC - параллельные стороны трапеции, то SABO = SDOC.
Тогда SABO + SDOC = SAOD + SBOC
2SABO = SAOD + SBOC
2SABO = 32 + 8
2SABO = 40
SABO = 20
Пусть AC = x, BD = 10. Тогда:
SABO = 0.5 AB h1
SABO = 0.5 CD h2
где h1 и h2 - высоты трапеции.
Из этого следует, что AB/h1 = CD/h2. Также AB + CD = x + 10.
Заметим, что высота трапеции не превышает наибольшего основания, поэтому h1 <= 10 и h2 >= 10.
Из условия выражаем h1 и h2 через AB и CD:
h1 = 40 / AB
h2 = 40 / CD
Следовательно:
AB/h1 = CD/h2
AB * CD = 400
Так как AB + CD = x + 10, то AB * (x + 10 - AB) = 400
AB^2 - (x + 10)AB + 400 = 0
Далее извлекаем корни уравнения AB:
AB = [(x + 10) + sqrt((x + 10)^2 - 4*400)] / 2
AB = [(x + 10) - sqrt((x + 10)^2 - 4*400)] / 2
Очевидно, что AB должно быть наименьшим основанием трапеции, поэтому выбираем меньший корень:
AB = [(x + 10) - sqrt((x + 10)^2 - 4*400)] / 2
Подставляем известные значения:
[(x + 10) - sqrt((x + 10)^2 - 1600)] / 2 = x
(x + 10) - sqrt((x + 10)^2 - 1600) = 2x
10 - sqrt(x^2 + 20x + 100 - x^2 - 20x) = x
10 - sqrt(100) = x
10 - 10 = x
x = 0
Из этих вычислений видно, что наименьшее основание трапеции равно 0.