Ниже — три простых построения медианы из вершины $A$ (то есть луча $AM$, где $M$ — середина отрезка $BC$), с краткими шагами и обоснованием.
1) Перпендикулярный биссектор (стандартный, симметричный)
- Построение: взять одинаковый радиус $r>\frac{|BC|}{2}$, с центров $B$ и $C$ провести дуги, их две точки пересечения соединить — эта прямая есть перпендикулярный биссектор отрезка $BC$. Пересечение этого биссектора с $BC$ даёт середину $M$. Провести $AM$.
- Обоснование: перпендикулярный биссектор любого отрезка проходит через его середину; построение через равные радиусы гарантирует построение биссектора.
2) Через построение параллелограмма (аффинный способ)
- Построение: провести через $B$ прямую, параллельную $AC$, и через $C$ прямую, параллельную $AB$; их пересечение обозначить $A^{\prime }$. Тогда квадр. $B-A-C-A^{\prime }$ — параллелограм. Провести диагональ $A{A}^{\prime }$; точка пересечения $A{A}^{\prime }$ с $BC$ есть искомая середина $M$. Провести $AM$.
- Обоснование: в параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам, значит точка пересечения диагоналей — середина и диагонали $BC$, и $A{A}^{\prime }$.
3) Через подобие / гомотетию (построение параллельного сечения)
- Построение: на стороне $AB$ взять произвольную точку $D$ (не в вершине), через $D$ провести прямую, параллельную $BC$, она пересечёт $AC$ в точке $E$. Построить середину $N$ отрезка $DE$ (например, перпендикулярным биссектором). Прямая $AN$ пересечёт $BC$ в середине $M$. Провести $AM$.
- Обоснование: поскольку $DE\parallel BC$, треугольники $ADE$ и $ABC$ подобны ($△ADE\sim △ABC$). Гомотетия с центром $A$, переводящая $DE$ в $BC$, переводит середину $N$ в середину $M$; значит прямая $AN$ проходит через $M$.
Краткое сравнение
- Метод 1 (биссектор) самый прямой и обычно самый простой по количеству операций; опирается на симметрию двух кругов.
- Метод 2 (параллелограмм) использует построение параллельных прямых и свойство параллелограмма (диагонали делятся пополам); удобен, если хорошо строятся параллели (копирование угла).
- Метод 3 (подобие) гибок: можно взять любую точку $D$ — полезно, если трудно строить параллелограмм или прямой биссектор по каким‑то причинам; опирается на подобие треугольников (гомотетию).
Во всех трёх случаях итоговая точка $M$ является серединой $BC$, а $AM$ — искомая медиана.