Кратко:
1) Ряд Тейлора (предпочтительный способ). Для малых $x$ $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5)$.
Тогда числитель
$\sin x-x+\frac{x^3}{6}=\frac{x^5}{120}+o(x^5)$,
и
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x+x^3/6}{x^5}=\frac{1}{120}.$
2) Правило Лопиталя. Можно применять 5 раз или воспользоваться тем, что для гладкой функции $f$ $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^5}=\frac{f^{(5)}(0)}{5!}$, если первые четыре производные в нуле равны нулю. Для $f(x)=\sin x-x+x^3/6$ имеем
$f^{(5)}(x)=\cos x$, поэтому $f^{(5)}(0)=1$ и предел равен $\frac{1}{5!}=\frac{1}{120}$.
Почему ряд Тейлора предпочтительнее: он короче, явно показывает порядок малости и даёт предел сразу; многократное применение Лопиталя громоздко и требует проверки формы $0/0$ на каждом шаге.