Решение:
Сумма первых $n$ натуральных чисел равна $\frac{n(n+1)}{2}$. Требуется наименьшее натуральное $n$, при котором
$$\frac{n(n+1)}{2}>10000,$$ то есть
$$n^2+n-20000>0.$$ Положительный корень квадратичного уравнения $n^2+n-20000=0$ равен
$$\frac{-1+\sqrt{1+8\cdot 10000}}{2}=\frac{-1+\sqrt{80001}}{2}\approx 140.92224,$$ следовательно минимальное целое $n$ — это
$$n=\lceil \frac{-1+\sqrt{1+8\cdot 10000}}{2}\rceil =141.$$ Проверка: $\frac{141\cdot 142}{2}=10011>10000$, а для $140$ сумма $9870$.
Кратко о способах приближённого подсчёта больших сумм:
- Для арифметической прогрессии есть точная формула ${\sum }_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$.
- Интегральные приближения: для неубывающей функции $f$ $${\int }_0^{n}f(x)dx\le \sum _{k=1}^{n}f(k)\le {\int }_1^{n+1}f(x)dx,$$ дающие быструю оценку и погрешность порядка величины крайних членов.
- Формула Эйлера—Маклорена даёт развёртку с более точными членами:
$$\sum _{k=1}^{n}f(k)={\int }_1^{n}f(x)dx+\frac{f(1)+f(n)}{2}+\text{(высшие члены)}.$$ - Для сумм вида $\sum a_k$ с известной асимптотикой используют методы интегральных приближений, оценочные неравенства и асимптотические формулы (например, для факториала — формула Стирлинга).
Эти приёмы позволяют быстро получать оценки и контролировать погрешность при больших $n$.